5.6 Решение задач теории упругости в перемещениях

В этом случае все неизвестные в системе (5.17) выражаются через смещения u_i (перемещения). Поскольку компонент вектора смещений только три, то число уравнений в системе уменьшается с 15 до трех. Возьмем первое, четвертое и шестое уравнения системы (5.5) и заменим в них деформации через компоненты u_i:

Дифференцируя полученное по х, у, z, найдем:

Произведя замены в первом уравнении равновесия:

получим:

Первую скобку можно представить в виде:

Следовательно:

Аналогично преобразуются два остальных уравнения равновесия, в результате чего получается система уравнений относительно смещений, называемых уравнениями Лямэ:

(5.18)

Соотношения Коши для статических граничных условий также можно преобразовать, выразив напряжение через перемещения:

и т.д.

После преобразований получим:

(5.19)

Уравнения Лямэ (5.18) совместно с граничными условиями

(5.19) позволяют решать задачи теории упругости в перемещениях. Имеются многочисленные, хорошо отработанные пакеты прикладных программ для численного решения задач теории упругости в перемещениях. Недостаток этого подхода – сравнительно низкая точность определения напряжений вследствие накопления ошибок при расчете.

5.7 Решения задач теории упругости в напряжениях

Если все неизвестные в системе (5.17) выразить через компоненты тензора напряжений , то получим уравнения для решения задач в напряжениях. Однако для этого к системе (5.17) придется добавить условия совместности деформаций (3.36). Выразив в них деформации через напряжения при помощи (5.2) и используя уравнения равновесия, получим т.н. уравнения Бельтрами (5.20), описывающие поле напря-жений при отсутствии объемных сил.

Для решения задач теории упругости в напряжениях нужно проинтегрировать 6 уравнений (5.20) совместно с 3 уравнениями равновесия, а граничные условия при этом определять по заданному распределению поверхностных нагрузок, используя соотношения Коши.

Система уравнений Бельтрами, на первый взгляд, является доста-

(5.20)

точной для определения 6 компонент и в использовании уравнений равновесия нет необходимости. В действительности это не так. При дифференцировании уравнений обобщеного закона Гука для подста-новки в уравнения совместности Сен-Венана (3.36) был искусственно повышен порядок исходной системы. В результате системе (5.20) удовлетворяют функции более широкого класса, чем возможные решения задачи теории упругости. Решения системы (5.20) не всегда будут удовлетворять уравнениям равновесия.

Например, если напряжения будут произвольными линейными функциями координат:

,

то они будут удовлетворять системе (5.20) при любых значениях коэф-фициентов т.к. вторые производные:

Однако эти функции не будут удовлетворять уравнениям равно- весия при произвольных . Поэтому уравнения Бельтрами всегда решаются совместно с уравнениями равновесия. По полученному полю напряжений при помощи (5.2) всегда можно найти поле деформаций , автоматически удовлетворяющее условиям совместности деформаций. По такому полю можно сразу определять поля смещений u_i, как это описано в п. 3.15.