2.15 Уравнения равновесия
Конечной целью статики сплошной среды является определение поля напряжений в исследуемой области, т.е. значений σij в каждой ее точке. Для этого нужно знать напряжения на границах области и иметь уравнения, которые бы описывали изменения поля напряжений от точки к точке. Чтобы такое описание было неограничено точным, эти уравнения должны быть дифференциальными. Получить такие уравне-ния можно из уравнения 2-го закона Ньютона для сплошной среды (2.3):
Левую часть (2.3) можно преобразовать следующим образом:
(2.44)
Как будет показано при выводе уравнения неразрывности, в переменных Эйлера полная производная по времени как плотности, так и скорости, состоит из суммы локальной и конвективной производных:
,
где первые слагаемые в правой части являются локальными, а вторые – конвективными производными. Поэтому правая часть (2.44) может быть представлена в виде:
,
Если принять, что масса конечного объема w сплошной среды не
изменяется со временем (закон сохранения массы), то:
Следовательно:
Учитывая,
что по соотношениям Коши
и используя
теорему Остроградского–Гаусса, первое слагаемое правой части (2.3)
представим следующим образом:
Тогда:
или:
(2.45)
Поскольку объем w был взят произвольно, то для равенства ну-лю (2.45) должно быть равно нулю подинтегральное выражение:
(2.46)
Уравнение (2.46) является дифференциальной формой закона сохранения импульса для сплошной среды и пригодно для описания любых, в т.ч. и динамических процессов.
В
квазистатических процессах
пренебрежимо
мало. По-этому :
В
тензорных обозначениях, учитывая, что
= σij
:
В развернутом виде получаем уравнения равновесия элементар-ного объема сплошной среды в декартовых координатах:
(2.47)
В процессах ОМД массовые силы пренебрежимо малы. Отсюда:
(2.48)
Такой вид уравнения равновесия имеют только в декартовой системе координаи.
2.16 Уравнения равновесия в недекартовых системах
координат
При решении задач для тел, ограниченных криволинейными поверхностями, иногда более удобными являются криволинейные системы координат, поскольку их можно подобрать так, что граничные условия будут выражаться проще. Чаще всего используются полярные координаты на плоскости, цилиндрические и сферические – в пространстве.
В цилиндрической системе координат положение точки задается радиусом ρ, углом долготы θ и аппликатой z (рис. 2.16). Эта система координат удобна при исследованиях деформирования тел, имеющих ось вращения.
Рисунок 2.16 − Цилиндрическая система координат
Формулы перехода от цилиндрических координат к декартовым и обратно:
х1 = ρ cosθ; х2 = ρ sin θ ; х3 = z
;
z = х3
;
Уравнения равновесия приобретают следующий вид:
Частным случаем цилиндрической является полярная система координат, используемая при решении двухмерных, т.н. «плоских» задач. В ней уравнения равновесия проще:
Сферическая система координат удобна для исследований напряжено-деформированного состояния тел сферической формы.В этой системе координат положение точки задается радиус-вектором ρ, углом широты ω и углом долготы θ (рис. 2.17).
Рисунок 2.17 − Сферическая система координат
Формулы перехода от сферических координат к декартовым и обратно:
х1 = ρ sin ω cosθ; x2 = ρ sin ω sinθ; х3 = ρ cos ω;
;
;
Уравнения равновесия в сферической системе:
