8.8 Умножение тензора на вектор

Результатом умножения тензора на вектор является вектор. Различают умножение вектора на тензор слева и умножение тензора на вектор справа [11]:

Левым произведением вектора-строки b_k на тензор а_ki будет вектор с_i = b_k а_ki, компоненты которого:

Правым произведением матрицы тензора а_iк на вектор-столбец b_k будет вектор с компонентами:

Пример: Найти правое и левое произведение вектора (1,0,2) на тензор, заданный матрицей:

Правое произведение:

Левое произведение: .

Т.о., результаты левого и правого умножения существенно различны. Совпадать они будут только в том случае, когда тензор симметричен.

8.9 Главные оси тензора

Для любого симметричного тензора можно подобрать такую ориентацию прямоугольной декартовой системы координат, в которой все недиагональные компоненты станут равными нулю [11]:

Такие оси называются главными, а компоненты λ_i – главными компонентами. Матрица в таких осях называется матрицей диагонального вида. Компоненты λ₁, λ₂ , λ₃ , действуя вдоль координатных осей, являются проекциями вектора , определяющего главное направление данного тензора. Особенность главного направления состоит в том, что в результате умножения на любой вектор, действующий в этом направлении, получается вектор, коллинеарный исходному. В частности:

, (8.5)

где для определенности взято произведение справа. Вещественное число λ в данном случае называется собственные значением тензора. С целью определения λ и запишем выражение (8.5) в развернутом виде:

Перенося влево λ у_i , получаем:

(8.6)

Чтобы данная однородная система линейных уравнений относительно у_i имела нетривиальные решения, ее определитель должен быть равен нулю:

( 8.7 )

Собственные значения определителя (8.7) λ (и тензора ) вычисляют, раскрывая определитель и группируя члены по степеням λ :

(8.8)

Уравнение (8.8) называется характеристическим уравнением тензора , а его коэффициенты – инвариантами тензора .

Компоненты тензоров меняются при изменении системы координат. Однако из компонент можно составить величины, не зависящие от выбора системы координат, которые называются инвариантами. Такими величинами будут коэффициенты характеристического уравнения (8.8), поскольку собственные значения , как и их главные значения, от выбора системы координат не зависят (собственные значения λ– скаляры и от системы координат зависеть не могут).

Если раскрыть определитель (8.7), то получим, что каждому тензору соответствует:

1-й или линейный инвариант –

где а_ii – диагональные компоненты данного тензора;

2-й или квадратичный инвариант:

3-й или кубический инвариант:

В главных осях выражения для инвариантов упрощаются, поскольку исчезают недиагональные компоненты тензора:

Полученные три инварианта являются базисными; бесчисленное множество других инвариантов каждого симметричного тензора а_ik может быть получено в результате линейных операций с тремя базис-ными.