5.2 Обобщенный закон Гука

Для линейно–упругих сред уравнение связи между компонентами σ_ij и ε_ij можно получить из законов Гука для одноосного растяже-ния:

или

и сдвига:

где Е, G – модули упругости 1-го и 2-го рода.

При этом должны выполняться условия:

1) действие компонент σ_ij одновременно и порознь не переводит среду в пластическое состояние;

2) деформации являются малыми;

3) процесс деформации, по крайней мере вначале, является изотермическим.

Тогда применим принцип суперпозиции (независимого действия сил) для вычисления деформаций по любому направлению. Пусть имеется действие только напряжения σ_х. Тогда элементарный объем в направлении оси x получит относительное удлинение:

,

а в направлениях осей у и z, согласно закону Пуассона:

где μ – коэффициент Пуассона, являющийся константой только при малых деформациях и постоянной температуре.

Аналогично при действии σ_у и σ_z:

; ;

;

Согласно 2-го закона Гука:

,

где (5.1)

Обычно в экспериментах находят Е и G, а величину μ рассчитывают по (5.1).

Аналогично действия τ_уz и τ_zх вызывают сдвиги:

;

Применяя принцип суперпозиции, находим:

(5.2)

или в тензорной форме записи:

(5.3)

где δ_ij – символ Кронекера:

Формулы (5.2) и (5.3) выражают обобщенный закон Гука, справедливый только для изотропных линейно-упругих сред.

Используются и другие формы записи (5.2):

(5.4)

Уравнения (5.4) для нормальных напряжений могут быть представлены в более компактной форме:

,

(5.5)

где – т.н. постоянная Лямэ; Θ = 3 ε_о.

5.3 Упругое изменение объема и формы

Складывая левые и правые части первых 3-х уравнений (5.2) и учитывая, что а 3 = σ_о, получим:

(5.6)

Поскольку , то (5.6) можно представить в виде:

(5.7)

Выражение (5.7) называется законом упругого изменения объема, а величина – объемным модулем упругости.

Из уравнений (5.4) от левых и правых частей отнимем σ_о, выразив величину σ_о для правых частей через ε_о по (5.6). Получим учитывая, что

(5.8)

Соотношения между сдвигами и касательными напряжениями не изменились, поэтому в тензорной записи соотношения между компо-нентами девиаторов напряжений и деформаций выглядят так:

(5.9)

Выражение (5.9) называют законом упругого изменения формы:

Компоненты девиатора напряжений прямо пропорциональны компонентам девиатора деформаций и коэффициентом пропорциональности является удвоенный модуль сдвига.

Используя законы упругого изменения объема и формы, обоб-щенный закон Гука можно выразить в виде:

(5.10)

Очевидно, что из четырех упругих постоянных Е, G, μ и Е_о, характеризующих упругие свойства однородных и изотропных сред, независимыми являются только две: Е и G. Объемный модуль упругости Е_о характеризует сопротивление среды упругому изменению объема (без изменения формы), а модуль сдвига G – сопротивление среды упругому изменению формы (без изменения объема).