2.6 Условия симметричности тензора напряжений

Важно выяснить условия, при которых тензор напряжений будет симметричным, т.к. в этом случае напряженное состояние характеризуется не 9, а только 6 компонентами.

Известно, что всякий тензор симметричен, если при i ≠ к его компоненты будут равными: А_iк=А_кi. Для тензора напряжений симметричность выражается в виде «закона парности» касательных напряжений:

τ_iк = τ_кi .

Оказывается, что условия симметричности тензора σ_ij непосредственно следуют их условий равновесия элементарного (в дифференциальной форме) или произвольного (в интегральной форме) объема сплошной среды относительно вращательного движения. Поэтому остановимся на этих условиях.

Уравнение вращательного движения для одной точечной массы можно получить, умножив векторно (2.2) на радиус-вектор этой массы m относительно начала некоторой инерциальной системы отсчета:

(2.15)

Соотношение (2.15) показывает, что момент количества движения точечной массы равен моменту действующей на нее силы .

Уравнение моментов для конечного объема сплошной среды, при принятых в МДТТ допущениях, таково [9]:

( 2.16)

где – вектор плотности моментов поверхностных сил;

– вектор плотности моментов внешних массовых сил.

На каждую частицу сплошной среды действуют распределенные поверхностные и массовые силы, которые в общем случае не сводятся только к равнодействующим. Поэтому приходится вводить поверхностные и мас-совые пары сил. Например, при сильно выраженном градиенте напряжений и плотности нельзя полагать, как это обычно делается, что векторы напряжений и массовых сил расположены точно в центре элементарной площадки и элементарного объема (рис. 2.6, а). В действительности равнодействующие будут смещены (рис. 2.6, б). Для учета этого к векторам напряжений и (или) объемных сил добавляют векторы плотности моментов поверхностных и (или) объемных cил (рис.2.6в):

Рисунок 2.6 − Появление поверхностных и массовых пар сил

В классической постановке задач МДТТ массовыми и поверх-ностными силами пренебрегают ввиду их малости, учитывая их в противном случае в т.н. «моментной» теории [10]. Поэтому уравнение (2.16) упрощается:

(2.17) Из него после ряда преобразований (см. п. 2.7) следует:

Так доказывается т.н. «закон парности» касательных напряжений:

τ_ху = τ_ух; τ_уz = τ_zy; τ_zx = τ_xz

Следовательно, σ_ij = σ_ji , если не учитывать поверхностные и массовые пары сил. Поэтому тензор напряжений симметричен только приблизи-тельно. Однако в подавляющем большинстве задач, встречающихся в ОМД, градиенты напряжений настолько малы, что ими можно пренеб-речь без существенной потери в точности решения.

2.7 Доказательство равенства парных касательных

напряжений*

Возьмем уравнение моментов импульсов (2.17) для классической постановки задач МДТТ:

Используя соотношения Коши (2.8) и теорему Остроградского–

Гаусса, преобразуем последний интеграл таким образом:

Из векторного анализа известно, что:

Поэтому:

Подставляя полученное соотношение в исходное уравнение и учитывая, что:

(т.к. ), получим:

Левую часть этого уравнения преобразуем следующим образом:

Первый интеграл в правой части равен нулю, т.к. , а . Тогда, перенося два интеграла из предыдущего уравнения из его правой части в левую, будем иметь:

Как будет показано при выводе уравнений равновесия (см.п.2.15), выражение в круглых скобках левой части равно нулю. Поэтому:

Поскольку объем w был взят произвольным, и поскольку , то:

(2.18)

Известно, что: ; ; ;

; ; ,

если они индексированы, так, как это показано на рисунке 2.7:

Рисунок 2.7 − Индексация ортов системы координат

Отсюда следует, что (2.18) в развернутом виде:

–

Или, переходя к обычному обозначению касательных напряжений:

,

что и требовалось доказать.