- •8 Приложения. Элементы векторной и тензорной алгебры
- •1.1 Задачи курса «Механика сплошных сред»
- •1.2 Предмет механики сплошной среды
- •1.3 Методы механики сплошной среды
- •1.4 Основные принципы механики сплошной среды
- •1.5 Элементарный объем
- •1.6 Переменные Лагранжа и Эйлера
- •1.7 Движение и равновесие сплошной среды
- •2 Статика сплошной среды
- •2.1 Напряжение в точке
- •2.2 Напряженное состояние в точке
- •2.3 Соотношения Коши и компоненты напряженного
- •2.4 Тензор напряжений
- •2.5 Доказательство тензорности напряженного состояния*
- •2.6 Условия симметричности тензора напряжений
- •2.7 Доказательство равенства парных касательных
- •2.8 Общий случай напряженного состояния*
- •2.9 Главные напряжения
- •2.10 Нормальные и касательные напряжения
- •2.11 Максимальные касательные напряжения
- •2.12 Шаровой тензор и девиатор напряжений
- •2.13 Изображение напряженного состояния в точке
- •2.14 Октаэдрические напряжения и интенсивности
- •2.15 Уравнения равновесия
- •2.16 Уравнения равновесия в недекартовых системах
- •2.17 Уравнения равновесия в общем случае *
- •2.18 Краевая задача статики сплошной среды
- •3 Кинематика сплошной среды
- •3.2 Абсолютная и относительная деформация
- •3.3 Поле относительных смещений
- •3.4 Составляющие движения сплошной среды
- •3.5 Тензор малых деформаций
- •3.6 Геометрический смысл компонент тензора малых
- •3.7 Тензоры конечных деформаций
- •3.8 Общий случай малых деформаций *
- •3.9 Анализ деформированного состояния в точке
- •3.10 Инварианты тензора малых деформаций
- •3.11 Главные деформации
- •3.12 Максимальные угловые деформации
- •3.13 Октаэдрические деформации и интенсивности
- •3.14 Условия совместности деформаций
- •3.15 Определение перемещений по деформациям*
- •3.16 Поле скоростей
- •3.17 Первая теорема Гельмгольца
- •3.18 Тензор скоростей деформаций
- •3.19 Свойства тензора скоростей деформаций
- •3.20 Вторая теорема Гельмгольца*
- •4 Элементы термодинамики сплошных сред
- •4.1 Термодинамические системы и параметры состояния
- •4.2 Законы сохранения
- •4.3 Теоремы э. Нётер и свойства симметрии
- •4.4 Закон сохранения массы и уравнение неразрывности
- •4.5 Вывод уравнения неразрывности*
- •4.6 Теорема «живых сил»
- •4.7 Первое начало термодинамики
- •4.8 Уравнение теплопроводности
- •5 Основы теории упругости
- •5.1 Предмет теории упругости
- •5.2 Обобщенный закон Гука
- •5.3 Упругое изменение объема и формы
- •5.4 Потенциальная энергия упругого деформирования
- •5.5 Постановка задач в теории упругости
- •5.6 Решение задач теории упругости в перемещениях
- •5.7 Решения задач теории упругости в напряжениях
- •5.8 Плоское напряженное состояние*
- •5.9 Плоское деформированное состояние*
- •5.10 Плоская задача в моментной теории упругости *
- •5.11 Функция напряжений*
- •5.12 Способы решения задач теории упругости*
- •6 Основы теории пластичности
- •6.1 Предмет теории пластичности
- •6.2 Переход в пластическое состояние при растяжении
- •6.3 Условия пластичности
- •6.6 Экспериментальная проверка условий
- •6.7 Теории пластичности
- •6.8 Теория пластического течения
- •6.10 Постулат Друкера и ассоциированный закон
- •6.11 Области применимости различных теорий пластичности
- •6.12 Экстремальные принципы пластического
- •7 Применение теории пластичности в омд
- •7.1 Постановка задач при расчетах процессов омд
- •7.2 Математический аппарат и краевые условия при омд
- •7.3 Способы решения задач теории пластичности
- •1.Численные методы;
- •2.Прямые методы получения решений на основе экстремальных принципов мсс;
- •3.Уменьшения числа независимых переменных и искомых функций.
- •7.4 Частные виды напряженно-деформированных
- •1. Толщина пластины значительно меньше остальных размеров;
- •2. Деформирующие усилия приложены в срединной плоскости пластины.
- •7.5 Особенности плоского деформированного состояния
- •7.6 Осесимметричное деформированное состояние
- •7.7 Метод линий скольжения
- •7.8. Свойства линий скольжения
- •7.9 Простые сетки линий скольжения
- •7.10 Статические граничные условия в млс
- •7.11 Задача о внедрении штампа в полупространство
- •7.12 Основные краевые задачи в млс*
- •7.13 Определение поля скоростей в млс*
- •7.14 Полные решения задач плоской деформации
- •Пластичности в омд”
- •8. Приложения. Элементы векторной и тензорной алгебры и анализа
- •8.1 Скаляры и векторы
- •8.2 Векторный базис
- •8.3 Сложение и умножение векторов
- •8.4 Тензоры 2-го ранга
- •8.5 Преобразование компонент тензора
- •8.6 Сложение и умножение тензоров
- •8.7 Симметрирование и альтернирование тензоров
- •8.8 Умножение тензора на вектор
- •8.9 Главные оси тензора
- •8.10 Определение величины и направления главных компонент тензора
- •8.12 Поверхности уровня и градиент скалярного поля
- •8.13 Векторное поле и векторные линии
- •8.14 Поток и дивергенция векторного поля
- •Теорема Остроградского–Гаусса:
- •8.15 Циркуляция и ротор векторного поля
- •8.16 Оператор («набла»)
- •8.17 Дифференциальные операции 2-го порядка
- •8.18 Потенциальные векторные поля
- •8.20 Гармонические векторные поля
- •8.21 Основная теорема векторного анализа
- •8.22 Производная и градиент векторного поля
- •8.23 Поток тензорного поля
- •8.24 Дивергенция тензорного поля
- •8.25 Производная тензорного поля по направлению
- •Предметный указатель
- •Перечень ссылок
2.8 Общий случай напряженного состояния*
В общем случае нет никаких оснований считать, что градиенты напряжений малы и пренебрегать поверхностными парами сил. Если в (2.16) 2 и 4-й интегралы не равны нулю, то соотношение (2.18) не выполняется. Следовательно, тензор напряжений не будет симметрич-ным. Более того, он не будет исчерпывающим образом характеризовать напряженное состояние в точке. Действительно, при выводе соотношений Коши (2.8) рассматривалось условие равновесия только от-носительно поступательного движения. Следовательно, молчаливо предполагалось, что условие равновесия относительно вращательного движения (2.16) выполняется тождественно. Последнее возможно только в том случае, когда равнодействующие сил нормальных напряжений приложены точно в центрах элементарных площадок. В общем случае это не так и поэтому на каждой грани элементарного объема будут иметь место три распределенные пары, называемые моментными напряжениями. Их обозначают mij, где первый индекс указывает «адрес» этого момента и соответствует индексу нормали к площади, а второй – ось, относительно которой действует этот момент.
На рисунке 2.8 показаны все компоненты напряженного состоя-
ния в общем случае.
Рисунок 2.8 − Общий случай напряженного состояния
Следовательно, в общем случае напряженное сосстояние будет определено, если кроме указан и тензор моментных напряжений mij.
2.9 Главные напряжения
Известно, что любой симметричный тензор можно привести к диагональному виду, в котором все недиагональные элементы матрицы обращаются в нуль, а три диагональных элемента, называемые собственными значениями тензора, являются проекциями вектора, определяющего главное направление тензора. В случае тензора напряжений σij :
(2.19)
Т ри взаимно перпендикулярные проекции вектора главного направления задают ортогональную систему координат, оси которой называются главными осями и обозначаются цифрами 1, 2, 3 (рис. 2.9).
Рисунок 2.9 − Главные оси тензора напряжений
Главные оси – это оси такой декартовой системы координат, в которой на гранях элементарного объема действуют только главные напряжения.
Главные напряжения – это нормальные напряжения на глав-ных площадках.
Главные площадки – это площадки, на которых отсутству-
ют касательные напряжения.
Т.о. для симметричного тензора напряжений всегда можно найти такую ориентацию системы координат, в которой касательные напряжения на гранях элементарного объема исчезнут, и останутся только нормальные. Для главных напряжений принято правило индексов:
σ1 ≥ σ2 ≥ σ3 (2.20)
Главные напряжения σ1 (максимальное) и σ3 (минимальное) являются экстремальными значениями нормального напряжения σn на всевозможно ориентированных площадках, проходящих через данную точку. Напряжение σ2 называется средним.
Главные напряжения не зависят от выбора системы координат и изменяются только при изменении напряженного состояния в точке.
Из вышеизложенного следует, что любое напряженное состояние можно вызвать растяжением и сжатием элементарного объема в 3-х взаимно перпендикулярных направлениях. Описание напряженных состояний в главных осях существенно облегчает их классификацию и изучение.
Величину главных напряжений можно найти из характерис-тического уравнения тензора, которое для σij имеет вид:
σ3 – I1 (σij ) σ 2 + I2 (σij) σ – I3 (σij ) = 0 , (2.21)
где Iк (σij ) – т.н. базисные инварианты тензора напряжений.
Инвариант – величина, составленная из компонент тензора и не изменяющаяся при изменении системы координат.
У σij , как и любого другого тензора 2-го ранга, имеется 3 базис-ных инварианта:
– линейный (первый):
I1 ( σij ) = σх + σy + σz = const
– квадратичный (второй):
I2 ( σij ) = σх σу + σy σz + σz σx – τxy2 – τyz2– τzx2 = const (2.22)
– кубический (третий):
I3 ( σij ) = σх σу σz + 2 τyz τzx τxy – σx τyz2 – σy τxz2 – σz τxy2 = const
Линейными преобразованиями из базисных инвариантов можно получить бесконечное множество других инвариантов.
Инварианты являются основными характеристиками напряжен-ного состояния в точке. Их используют для сравнения напряженных состояний в разных точках или в одной и той же точке на разных эта-пах нагружения.
В главных осях выражения для базисных инвариантов упроща-ются:
I1 ( σij ) = σ1 + σ2 + σ3 = const
I2( σij ) = σ1 σ2 + σ2 σ3 + σ3 σ1 = const (2.23)
I3 ( σij ) = σ1 σ2 σ3
Для определения направления главных напряжений, задаваемых направляющими косинусами li , mi , ni ( i = 1, 2, 3 ), нужно восполь-зоваться системой уравнений произведения σij на вектор главного направления:
(σx – σi ) li + τyx mi + τzx ni = 0
τxуli + (σу – σi ) mi + τуz ni = 0 (2.24)
τzx li + τzy mi + (σz – σi ) ni = 0