8.20 Гармонические векторные поля

Векторное поле, одновременно являющееся потенциальным и соленоидальным, называется гармоническим, или лапласовым.

Т.к. поле потенциально, то , а т.к. оно и соленоидально, то

_{Поэтому
у него будет потенциал, удовлетворяющий
уравнению Лапласа:}

(8.11)

Функции φ, подчиняющиеся условию Δφ = 0, называются гармоническими при условии, что они непрерывны вместе со своими производными 1-го и 2-го порядка.

Уравнение Лапласа Δφ = 0 является одним из простейших уравнений в частных производных. Оно относится к эллиптическому типу. Существуют хорошо разработанные методы решения этого уравнения и поэтому применение гармонических полей для моделирования про-

цессов в сплошных средах является весьма эффективным.

Уравнение Лапласа Δφ = 0 имеет единственное решение в области, на границе которой потенциал φ (x, y, z) принимает заданное значение. Задача определения гармонической функции в области Ω при граничном условии φ|Γ = f (x, y, z), где Γ – граница области, называется задачей Дирихле.

Часто встречается также задача Неймана: нужно определить гармоническую функцию в односвязной области по заданным значениям ее нормальной производной на границе области. Т.е. необходимо найти решение уравнения Δφ = 0 при граничном условии . Решение определено с точностью до произвольной постоянной.

Если область гармонической функции многосвязна, то нужно за-дать не только на Г, но и значение циркуляции градиента поля по тем контурам, которые не могут быть стянуты в точку.

8.21 Основная теорема векторного анализа

Любое непрерывное векторное поле , заданное во всем пространстве и исчезающее на бесконечности вместе с и , может быть единственным образом представлено (с точ-ностью до векторной постоянной) в виде суммы потенциального

и соленоидального полей:

(8.12)

где: и . (8.13)

Формула для восстановления поля по его вихрям и дивергенции имеет вид:

Интегрирование должно вестись по всему пространству.

В конечном объеме разложение (8.12) определено, если в дополнение к (8.13) на границе области задана нормальная компонента:

Основная теорема векторного анализа позволяет сводить изучение произвольных векторных полей к более простым - потенциально-му и соленоидальному [11].

8.22 Производная и градиент векторного поля

Известно, что изменение скалярного поля при переходе в другие точки пространства описываются градиентом скаляра , который является вектором. Изменение векторного поля в пространстве описывается величиной более высокого порядка – тензором, являющимся производной векторного поля по векторному аргументу