3.15 Определение перемещений по деформациям*

При решении задач, в конечном итоге, важно находить не столько деформации, сколько смещения, т.к. именно они описывают форму тела после деформации. Уравнения Сен-Венана определяют только условия интегрируемости зависимостей Коши. Величины компонент дает формула Чезаро [13]. Однако ввиду громоздкости подинтегральных функций она обычно не используется, т.к. значительно проще смещния находятся по компонентам тензора относительных смещений.

Из (3.35) известны три диагональных компоненты тензора (3.3):

; ; .

Остальные компоненты (при i ≠ j ) находятся как функции по их полным дифференциалам в зависимости от известных компонент ε_ij .

Известно, что:

.

Дифференцируя по x_к получим:

.

Кроме того известно, что:

, а

Дифференцируя по x_{к ,} имеем:

.

Из этого получим:

.

Эта формула определяет все производные компонент тензора относительных смещений через производные известных компонент тензора деформации, удовлетворяющих условиям совместности (3.36).

Тогда:

(3.37)

где M₀ – начало пути интегрирования, а – значение произ- водной в точке M_0. Например:

В последнем выражении компоненты ε_ij при обозначены как . Если условия совместности выполняются, то интеграл (3.37) не зависит от пути интегрирования M₀M. Удобнее всего интегрировать по ломаной линии, не выходящей за пределы области интегрирования, звенья которой параллельны осям координат. Совмещая точку M₀ с началом координат, имеем:

(3.38)

Вычислив недиагональные компоненты тензора относительных смещений по (3.38) и учитывая известные диагональные его компоненты, можно находить перемещения произвольной точки M как функции по их полным дифференциалам:

(3.39)

Точку M₀ желательно выбирать такую, которая не имеет жестко-го смещения (например, пересечение осей симметрии деформируемого тела). Тогда и ( u_i)_о будут равны нулю.

Например, смещение элементарных объемов в направлении оси x будет выражаться функцией:

3.16 Поле скоростей

Описание движения сплошной среды полем смещений связано с рассмотрением двух состояний: начального (до деформации) и данного (после некоторого этапа деформации). Для процессов с конечными (большими) деформациями такое описание неудобно, т.к. приводит к нелинейным тензорам Грина или Альманси. Значительно удобнее, а во многих случаях и важнее, исследовать мгновенную картину движения сплошной среды, представляющую собой переход от состояния в момент времени τ к состоянию в близкий момент τ + ∆τ. При этом частицы сплошной среды получают смещение , разделив которое на приращение времени ∆τ, в пределе имеем скорость течения сплошной среды:

В переменных Лагранжа скорость вычисляется при постоянных параметрах Х, У, Z, индивидуализирующих частицу сплошной среды. В переменных Эйлера – при постоянных параметрах х, у, z, индивидуализирующих точку пространства.

Скорость вычисляется относительно системы отсчета, представляющую совокупность обладающих массой средств измерения длины и времени («линеек» и «часов»).

Проекции вектор-функции скорости на оси координат являются тремя скалярными функциями: V_х ( х, у, z) , V_у ( х, у, z) , V_z ( х, у, z).

Поле скоростей как совокупность векторов скорости каждого элементарного объема движущейся среды представляет собой трудно-обозримое множество векторов скорости. Наглядную картину этого поля дают векторные линии, называемые в этом случае линиями тока.

Векторные линии поля скоростей движущейся сплошной сре-

ды называются линиями тока.

Совокупность линий тока образует картину течения в некоторый момент времени τ. У стационарных полей скоростей (не изменяющихся со временем) линий тока совпадают с траекториями движения час-тиц. У нестационарных такого совпадения нет.

Обозначим бесконечно малые отрезки линий тока в данный момент как (с проекциями ), а элементарные перемещения, как и ранее, (с проекциями du_х, du_y, du_z). Тогда уравнение линий тока, как всякой векторной линии, будет иметь вид:

(3.40)

Уравнение траектории:

(3.41)

Д ля установившегося движения поэтому (3.40 ) и (3.41) совпадают. У неустановившегося движения мгновенная картина распределения скоростей все время изменяется, и поэтому частицы не движутся по линиям тока (рис.3.17):

Рисунок 3.17 − Траектория и линия тока

Проведем в некоторый момент τ в поле скоростей замкнутую, не пересекающую себя линию L. Через каждую ее точку проходит не-которая линия тока. Совокупность этих линий образует поверхность тока (рис.3.18).

Рисунок 3.18 − Поверхность тока

Совокупность линий тока, проходящих через некоторый контур в поле скоростей, называется поверхностью тока.

Часть сплошной среды, выделенная поверхностью тока, называется трубкой тока.

Если контур S бесконечно мал, то трубка тока будет элементарной, в противном случае – конечной.

Поверхность, ограниченная контуром S, называется сечением трубки тока.

Если все линии тока, расположенные внутри трубки и на ее поверхности, нормальны к сечению, то оно называется ортогональным сечением трубки. Трубки тока непроницаемы по определению (векторы скорости лежат в плоскостях, касательных к поверхности тока). Поэтому весь поток сплошной среды можно разбить на достаточно узкие трубки тока и изучить бесконечно малые перемещения выделен-

ных объемов вдоль трубок.

Струей называется часть сплошной среды, ограниченная поверхностью траекторий точек замкнутого контура.

Т.к. у стационарных полей струи совпадают с трубками тока, то можно рассматривать не только бесконечно малые перемещения заключенных в трубках объемов сплошной среды, но и движения их в течение любого промежутка времени. У нестационарных полей такого совпадения нет, и поэтому изучаться должны только бесконечно малые перемещения.