2.2 Напряженное состояние в точке

Ориентация площадок на поверхности задана формой тела. В каждой же точке внутри тела можно провести бесчисленное множество всевозможно ориентированных площадок. Возникает вопрос: напряжения на каких площадках будут характеризовать меру воздействия соседних частиц на частицу в окрестности данной точки?

Очевидно, что элементарные площадки, являющиеся гранями элементарного объема, воспринимают все воздействия со стороны соседних частиц. Поэтому напряжения на гранях элементарного объема содержат всю информацию о напряженном состоянии данной частицы. Но поскольку выбор системы координат совершенно произволен, то произвольны размеры и форма элементарных объемов, следовательно, ориентация элементарных площадок. Напряженное состояние, в противоположность этому, не зависит от выбора системы координат. Поэтому, чтобы полностью охарактеризовать напряженное состояние, нужно знать напряжения на любой из бесчисленного множества всевозможных площадок, проходящих через данную точку.

Напряженное состояние в точке – это совокупность напряжений на бесконечно большом количестве всевоможных площадок, проходящих через данную точку.

Понятно, что задать бесконечную совокупность векторов напряжений во всем множестве точек сплошной среды невозможно. Поэтому остановимся на возможности определения напряжений на произвольных площадках по напряжениям на гранях произвольно ориентированного элементарного объема.

Для «пересчета» напряжений на гранях элементарного объема в напряжения на произвольно ориентированных площадках нужно иметь закономерность, устанавливающую связь между напряжениями на различных площадках. Такой закономерностью является второй закон Ньютона, который для одной частицы имеет вид:

(2.2)

В случае произвольного объема W сплошной среды, ограни-ченного поверхностью F_, этот закон выражается более сложным обра-зом [9 ]:

(2.3)

где ρ – плотность сплошной среды ;

­­– вектор поверхностных сил (напряжений), приложенных к телу;

– вектор плотности объемных сил, действующих на тело.

Как известно, плотность сплошной среды является пределом:

(2.4)

где m – масса элементарного объема.

Вектор плотности объемных сил:

(2.5)

где – вектор объемной силы, действующий на частицу.

В квазистатических процессах объемными силами можно пренебречь. Поэтому закон сохранения импульса (2.3) вырождается в сотношение:

(2.6) Интеграл (2.6) есть не что иное, как записанное в напряжениях условие статического равновесия тела с объемом W, ограниченным поверхностью F.

Рассмотрим равновесие бесконечно малого объема в виде тетраэдра,

выделенного в окрестности некоторой точки М (рис. 2.2).

Рисунок 2.2 − Равновесие элементарного тетраэдра

Из (2.6) следует, что:

где F – площадь наклонной грани тетраэдра.

Обозначая косинусы между нормалью к наклонной грани тетраэдра и осями системы координат:

получим:

(2.7)

В сокращенной, тензорной форме записи, соотношение (2.7) имеет вид:

(2.8)

где

Здесь подразумевается суммирование по повторяющемуся («немому») индексу. Для определенности взято левое произведение векто-ра с компонентами l, m, n на величину которая, как это будет показано ниже, является симметричным тензором. Поэтому (2.8) можно представить и как правое произведение тензора на вектор.

Соотношение (2.8) доказывает, что напряжения на произвольно ориентированных площадках действительно могут быть выражены через напряжения на 3-х взаимно перпендикулярных площадках. Впервые это было показано французским математиком О. Коши.