7.6 Осесимметричное деформированное состояние

Если деформируемое тело является телом вращения и внешние нагрузки приложены симметрично относительно его оси вращения, то будет иметь место осесимметричное деформированное состояние (ОСДС). При этом по торцам тела могут быть также приложены равномерно распределенные нагрузки. ОСДС будет и в том случае, когда равномерно распределенные нагрузки приложены только по торцам. Примерами процессов ОМД, в которых реализуется ОСДС, являются прессование (рис.7.10) и волочение круглых прутков из круглых заготовок, также прессование и волочение труб (рис.7.11) и пр.

Рисунок 7.10 − Прессование Рисунок 7.11 − Волочение

При анализе деформирования осесимметричных заготовок наиболее удобными являются цилиндрические координаты, в которых положение каждой точки определяется радиус-вектором , полярным углом и аппликатой z (см. п.2.16). Рассмотрим напряженное состояние в произвольной точке деформируемого тела. Ось z соместим с осью симметрии тела. Выделим в окрестности точки элементарный объем двумя плоскостями, проходящими перпендикулярно оси z с расстоя-нием dz между ними; двумя плоскостями, проходящими через ось z с углом dθ между ними и двумя цилиндрическими поверхностями с радиусами и (рис. 7.12).

Рисунок 7.12 − Элементарный объем в цилиндрических координатах

На площадках выделенного элементарного объема будут действовать напряжения: радиальное , тангенциальное , осевое и ка-сательные и . Вследствие симметрии тела и симметрии внешней нагрузки касательные напряжения и равны нулю (отсут-

ствует скручивание тела). Следовательно, является главным напряжением. По этой же причине все напряжения не зависят от координаты

. Поэтому они являются функциями только двух координат: и z.

Тензоры ОСДС:

Очевидно, что ОСДС является объемным напряженно-деформируемым состоянием, но характеризуется оно меньшим числом компонент тензоров, не зависящих от координаты θ.

Условие пластичности Треска-Сен-Венана:

(7.13)

Условие пластичности Губера – Мизеса при ОСДС:

(7.14)

Уравнения равновесия для ОСДС следуют из общего случая в цилиндрической системе координат (см.п.2.16) с учетом особенностей тензора напряжений для этого вида НДС:

(7.15)

Поскольку при выполнении условий осесимметричной деформации тело не скручивается, то V_θ = 0, а V_ρ и V_z не равны нулю. Скорость деформации не равна нулю, т.к. хотя тангенциальное перемещение

отсутствует, но удлинение в этом направлении происходит вследствие

радиальных перемещений.

Уравнения теории течения для идеально-жесткопластической среды (см. п.6.7) также получаются из общего случая (6.18). Присое-диняя к ним условие несжимаемости получим систему из 5 уравнений для 4 скоростей деформаций:

(7.16)

где H - интенсивность скоростей деформаций сдвига при ОСДС:

.

Учитывая, что для 4 компонент напряженного состояния имеется только три статических уравнения (7.13) или (7.14) и (7.15), вместе с (7.16) имеем замкнутую систему 8 уравнений для 8 неизвестных. Т.к. задача ОСДС статически неопределима, то раздельный анализ полей напряжений и скоростей деформаций невозможен. Это делает данную

задачу значительно более трудной, чем анализ ПДС.

Одним из способов ее упрощения (с соответствующим уменьшением точности решения) является т.н. условие полной пластичности. Предполагается, что при ОСДС два из трех главных напряжений равны между собой. В таком случае для 4 неизвестных компонент имеется 4 уравнения, поскольку к (7.14) и (7.15) добавляется требование . Возникающая система уравнений для напряжений будет гиперболического типа и для ее решения применим метод линий скольжения (см.п. 7.7). Подробнее этот вопрос рассмотрен в [ 28 ].

Если напряжения и , то тогда будет возникать осе-симметричное плоское напряженное состояние (ОПНС). Такое НДС имеет место в бесконечно длинной трубе, нагруженной внешним и внутренним давлением. На гранях элементарного объема будут действовать только нормальные напряжения и (рис.7.13):

Рисунок 7.13 − Осесимметричное ПНС

Условие Губера-Мизеса примет вид:

Два уравнения равновесия вырождаются в одно:

На основании условия несжимаемости:

(7.17)

где - смещение по оси ρ. Интегрируя (7.17), получим:

Произвольная постоянная С должна быть равна нулю, т.к. в противном случае при смещение , что невозможно. Поэтому:

Следовательно:

;

Отсюда вытекает, что при ОПНС .

Если деформация по оси z равна нулю и = 0, то деформиро-ванное состояние будет осесимметричным и плоским (ОПДС). Приме-ром является труба под внутренним и наружным давлением и осевой нагрузкой, препятствующей ее удлинению. Напряженное состояние при этом будет объемным, т.к. для того, чтобы (рис.7.14).

Чтобы получить условие пластичности Губера-Мизеса в этом случае, воспользуемся одним из уравнений теории течения:

Рисунок 7.14 − Осесимметричное ПДС

Поскольку , то и . Отсюда . Поэтому:

Подставив полученное в (7.14), найдем:

Уравнения равновесия – как при ОПНС. Деформация и по условию несжимаемости:

(7.18)

Решением уравнения (7.18) является функция:

Отсюда следует:

Таким образом при ОПДС . Этим и объясняется, почему при разрушении магистральные газопроводы получают осевые, а не радиальные трещины.

Распределение напряжений в толстостенных трубах при ОПДС может быть найдено непосредственным интегрированием уравнения равновесия совместно с условием пластичности или методом линий скольжения [36].