3.4 Составляющие движения сплошной среды

Используя, как и ранее, переменные Эйлера, рассмотрим поле смещений в двух бесконечно близких точках М и N.

Если в точке М оно выражено вектором , то в точке N вектор этого поля будет равен:

Дифференциал, характеризующий изменение поля при переходе от точки к точке, можно представить следующим образом:

(3.7)

Производная в выражении (3.7) является тензором относительных смещений (3.3). Разложив его на симметричный и антисимметричный тензоры, получим:

(3.8)

Симетричный тензор называется деформацией поля вектора и

он описывает изменение формы и объема частиц сплошной среды.

Антисимметричный тензор называется тензором вращений, поскольку он описывает вращение элементарного объема как абсолютно твердого тела. В развернутом виде его можно представить следующим образом:

=

= (3.9)

Т.к. у тензора (3.9) только три независимые компоненты, то ему можно сопоставить некоторый аксиальный вектор :

(3.10)

Равенство (3.10) следует из того, что ротор поля равен:

Произведение антисимметричного тензора (3.9) на вектор эквивалентно векторному произведению .

Это доказывается непосредственным вычислением произ- ведения данного тензора на вектор :

=

0 dx – ω₃ dy + ω₂ dz = (ω₂ dz – ω₃ dy) ;

= ω₃ dx + 0 dy – ω₁ dz = (ω₃ dx – ω₁ dz) ;

–ω₂ dx + ω₁ dy + 0 dz = (ω₁ dx – ω₂ dx) .

С другой стороны:

Сопоставляя проекции на оси произведение тензора на вектор и векторного произведения, видим, что они равны. Поэтому:

Первые два слагаемые этого выражения описывают перемещение элементарного объема в точке N как абсолютно твердого тела – перенос и вращение вокруг точки М как полюса. Последнее слагаемое характеризует деформацию элементарного объема с центром в точке N.

Т.о. движение сплошной среды состоит из поступательного и вращательного движения его частиц и их деформаций.

3.5 Тензор малых деформаций

Симметричная часть тензора (3.8) называется тензором малых деформаций Т_ε, поскольку 9 его компонент соответствуют 9 компонентам деформированного состояния в точке:

( 3.11)

Деформированное состояние в точке – это совокупность относительных деформаций во всевозможных направлениях, про-ходящих через данную точку.

Тензор малых деформаций – это тензор, компонентами которого являются компоненты деформированного состояния в точке.

Поэтому этот тензор характеризует деформированное состояние в точке, если деформации малы.

Девять компонент тензора малых деформаций Т_ε, который будем также обозначать ε_ij, для краткости получили собственные наимено-вания, образующие матрицу (3.12):

(3.12)

Рассматривая поле смещений, мы пользовались переменными Эйлера. Если повторить все рассуждения, приняв за независимые переменные координаты элементарных объемов до деформации, т.е. используя переменные Лагранжа, то получим лагранжев тензор малых

деформаций:

Если смещения малы, то мала и разница между вещественными и пространственными координатами. Поэтому Т_ε ≈ L_ε, т.е. тензоры малых деформаций в переменных Лагранжа и Эйлера совпадают.