Теорема Остроградского–Гаусса:
Поток вектора изнутри замкнутой поверхности равен тройному интегралу по объему, ограниченному этой поверхностью от дивергенции поля:
Пример: вычислить дивергенцию поля линейных скоростей вращаю-щегося тела, если:
Ответ:
8.15 Циркуляция и ротор векторного поля
Пусть поле образовано вектор-функцией (8.10). Введем в это поле замкнутую кривую (контур) L и выберем на ней положительное направление обхода так, чтобы внутренняя часть контура была слева. (рис.8.6).
Рисунок 8.6 − К определению циркуляции
Обозначим как вектор, имеющий направление касательной к
этой кривой в данной точке и по модулю равный дифференциалу длины дуги(направление касательной считается совпадающим с направлением кривой) [43]. В таком случае вектор будет иметь проекции:
.
Криволинейный интеграл по замкнутому контуру L от скалярного произведения вектора на вектор касательной к контуру называется циркуляцией вектора :
(8.11)
В
силовом поле циркуляция является работой
вдоль замкнутого контура. Циркуляция
– величина скалярная. Если подинтегральное
выражение (8.11) является полным
дифференциалом, а векторное поле занимает
односвязную область, то циркуляция по
любому контуру равна нулю. Такие векторные
поля называются потенциальными. В
произвольном векторном поле
циркуляция зависит от выбора контура
L.
При изменении направления L
она изменяет
свой знак на обратный. В неоднородном
векторном поле циркуляция будет величиной
переменной. Чтобы характеризовать
«вращательные» свойства векторного
поля в точке, т.е. независимо от площади
контура L,
используется
понятие ротора векторного поля.
Ротор - это предел отношения интеграла по замкнутой поверхности S от векторного произведения векторов поля и нор-мали к поверхности, к объему W, ограниченному этой поверх-ностью:
Ротор может быть определен и через циркуляцию вектора. Рассмотрим предел отношения циркуляции по плоскому контуру L, окру-
жающему точку М, к площади S, ограниченной этим контуром при условии, что контур L, стягиваясь в точку, остается в одной и той же плоскости:
где правая часть следует из теоремы Стокса. Она является скалярным произведением двух векторов: единичного вектора нормали (соs α; соs β; соs γ) к плоскости контура L и ротора векторного поля, который в координатной форме имеет вид:
Проекция
на направление
и
дает предел циркуляции вектора поля
по контуру с нормалью
к
площади, ограниченной этим контуром.
Например,
для магнитного поля прямолинейного
проводника с током (рис.8.7):
Рисунок 8.7 − Ротор магнитного поля
по
направлению совпадает с проводником
(ось OZ)
и является максимальным значением
отношения циркуляции к площади контура
По любому другому контуру (нормаль
которого не совпадает с проводником)
это отношение будет меньше.
В векторной форме теорема Стокса выглядит так:
т.е. поток ротора поля через поверхность S равен циркуляции вектора этого поля по границе L этой поверхности.
Пример: вычислить ротор векторного поля:
