8.16 Оператор («набла»)

Оператором «набла» (или оператором Гамильтона) называется символический вектор [43]:

Правила действий с этим оператором:

1. Произведение на скалярную функцию :

2. Скалярное произведение набла-вектора на векторную функцию дает дивергенцию этого поля:

3. Векторное произведение набла-вектора на векторную функцию дает ротор этого поля:

Действия взятия градиента, дивергенции и ротора называется диффе-ренциальными операциями 1-го порядка.

8.17 Дифференциальные операции 2-го порядка

Имеется 5 дифференциальных операций 2-го порядка, из которых особенностями обладают три [43]:

а)

– дивергенция векторного поля, образованная градиентом скалярного поля, равна оператору Лапласа от скалярного поля.

Оператором Лапласа от любой скалярной функции называется выражение вида:

где

б) – ротор векторного поля, образованного градиентом скалярного поля, тождественно равен нулю.

Все компоненты ротора в этом случае есть разности вторых смешанных производных одной и той же функции, отличающиеся только порядком дифференцирования:

и т.д.

в) Проверяется вычислением:

Пример: найти дивергенцию градиента скалярного поля, образованно-го функцией:

Поскольку производная произведения равна: , то:

8.18 Потенциальные векторные поля

Поле называется потенциальным (или безвихревым), если во всех его точках ротор равен нулю:

Из этого равенства следует, что в таком поле:

Вычислим ротор от градиента некоторой скалярной функции

Следовательно, поле градиента любой скалярной функции потенциально. Верно и обратное: если существует некоторая скалярная функция – потенциал, градиент от которой образует данное векторное поле, то это поле потенциально. Если к потенциалу φ поля прибавить константу, то получится потенциал того же поля:

Следовательно, потенциал определяет векторное поле с точностью до произвольной постоянной.

Рассмотрим циркуляцию в потенциальном поле вдоль произволь-ного замкнутого контура L . По теореме Стокса:

т.к.

Т.о., в потенциальном поле циркуляция по любому контуру равна ну-лю. Все три признака потенциальности сводятся к тому, что в данном векторном поле нет вихрей [43].

Для вычисления потенциала φ односвязного поля необходимо вычислить циркуляцию векторного поля:

по любому пути между произвольной фиксированной точкой М_о и те-кущей точкой М.

Пример: дано поле .

Найти потенциал. Принимаем за М_о начало координат:

8.19 Соленоидальные векторные поля

Векторное поле называется соленоидальным (трубчатым), если в каждой его точке дивергенция равна нулю:

Соленоидальное поле называется также несжимаемым, т.к. у поля скоростей несжимаемой жидкости .

Известно, что Следовательно, вектор любого соленоидального поля является ротором некоего вспомогательного вектора , называемого векторным потенциалом:

Векторный потенциал определяет поле с точностью до градиента произвольной скалярной функции, т.е.

тоже вектор-потенциал того же поля , т.к.

Поток соленоидального поля через замкнутую поверхность S, ог-

раничивающую область V, равен нулю. Это следует из теоремы Остроградского–Гаусса:

Справедливо и обратное: если поток черех замкнутую поверхность равен нулю, то поле соленоидально [43].

Все три вышеприведенные условия соленоидальности сводятся к тому, что в данном векторном поле нет источников и (или) стоков.