3 Кинематика сплошной среды

3.1 Вектор смещения

Кинематика – раздел механики, изучающий движение вне связи с определяющими его воздействиями тел. Таким образом, задача кинематики сплошной среды состоит в описании геометрических свойств движения без учета массы частиц среды и действующих на них напряжений.

Прежде всего, необходимо ввести кинематические параметры, которые однозначно и количественно характеризуют такое движение. Для практики важно не только само движение, но и его результаты. Рассмотрим, прежде всего, параметры, характеризующие реультаты движения.

Рассмотрим деформацию твердого тела настолько малую, что траектории перемещения частиц из состояния до деформации в состо-яние после будут близкими к отрезкам прямых (рис.3.1).

Рисунок 3.1 − К определению вектора смещения

Вектор, выходящий из точки, в которой находилась частица до деформации и заканчивающийся в точке расположения той же частицы после деформации, называется вектором смещения.

Если вектор смещения задан в каждой точке деформируемого тела, то тем самым определена вектор-функция смещения. Будем обозначать вектор-функцию смещения или , а ее проекции на оси прямоугольной декартовой системы координат u_x (x, y, z), u_y (x, y, z), u_z (x, y, z) или просто u_i. Модуль полного смещения частицы, находящейся после деформации в точке (x, y, z) равен:

3.2 Абсолютная и относительная деформация

Движение частиц тела приводит к его деформации, т.е. изменению формы. Даже в случае малых деформаций вектор не может полностью характеризовать результаты этого процесса. Например, растянем стержни длиной 100 и 500 мм, которые одним концом заделаны в неподвижную стенку, на 50 мм (рис. 3.2).

Рисунок 3.2 − Растяжение стержней разной длины

В обоих случаях их концы сместились на = 50 мм, однако очевидно, что первый стержень деформирован интенсивнее второго. Причина в том, что перемещение точек M и N складывалось не только из деформации элементарных объемов в окрестностях этих точек, но и из их перемещений как абсолютно твердых тел в результате деформаций предшествующих элементарных объемов. У второго стержня их больше, поэтому для равных смещений концов требуется меньшая деформация каждого элементарного объема. Отсюда следует, что деформация должна характеризоваться также и относительными величинами. В ОМД используются следующие два показателя:

1. Относительная деформация (или степень деформации):

ε = ΔL / L_н,к (3.1)

где ΔL – абсолютная деформация (разность размеров тела до и после деформации);

L_н,к – начальный или конечный размер тела.

Если ΔL / L_н ≈ ΔL / L_к, то деформации считаются малыми. В противном случае они называются конечными или большими.

Степень деформации еще называется показателем Коши. Его недостатком является неаддитивность – если деформация состоит из нескольких этапов, то степень суммарной деформации не равна сумме степеней деформации этапов:

.

2. Логарифмическая (или истинная) деформация:

е = ℓn (L_к / L_н) (3.2)

В отличие от относительной деформации логарифмическая обладает

свойством аддитивности, но используется реже, т.к. неудобна в математическом отношении. Называется также показателем Генки (Henky).