3.12 Максимальные угловые деформации
Ориентируя различным образом элементарные кубы до деформации можно добиться такого их расположения, что после деформации искажения углов между гранями будут максимальными, т.е. сдвиговые деформации достигнут максимума (тогда как при ориентировании ребер куба вдоль главных осей они достигнут минимума – нуля). Доказывается это так же, как и в случае максимальных касательных напряжений.
Берем выражение при сдвиге в произвольном направлении (3.26). Один из направляющих косинусов, например n, исключается из него при помощи соотношения l2 + m2 + n2 = 1. Полученное выражение дифференцируется по l и m и приравнивается к нулю для определения экстремальных значений функции. Затем описанное повторяется при исключении l и m . В результате получается совокупность значений направляющих косинусов (см. табл. п. 2.11), при которых γν получают экстремальные значения. В первых трех столбцах этой таблицы представлены направления, в которых γν минимальны. Это главные направления. В трех последних столбцах – косинусы нормалей к плоскостям, в которых сдвиги максимальны (рис. 3.13). Легко видеть, что это плоскости τmax. Это естественно, поскольку γmax вызываются максимальними касательными напряжениями.
Рисунок 3.13 − Направления максимальных сдвигов
Величину максимальных сдвигов можно найти, подставив значения косинусов из упомянутой таблицы в (3.26):
Правило индексов для главных деформаций такое же, как и для главных напряжений, поэтому самым большим по модулю будет сдвиг γ13.
Относительные линейные деформации в направлении нормалей к площадкам максимальных сдвигов по (3.25), с учетом экстремальных значений косинусов, выражаются соотношениями, аналогичными выражениям для нормальных напряжений на площадках максимальных касательных:
(3.28)
Поскольку
в направлении нормалей к площадкам
имеют
место линейные деформации, то нельзя считать главными сдви-
говыми деформациями.
3.13 Октаэдрические деформации и интенсивности
деформаций
Важными свойствами обладают деформации в направлениях, перпендикулярных и касательных к равнонаклоненным относительно главных осей (т.е. октаэдрическим) площадкам (рис. 3.14).
Рисунок 3.14 − Октаэдрические деформации
Направляющие
косинусы этих площадок, как известно,
равны
.
Отсюда следует, что полная деформация
выражается так:
(3.29)
Линейная октаэдрическая деформация по (3.25):
(3.30)
Следовательно, относительные удлинения в октаэдрических направлениях равны средним линейным деформациям в данной точке.
Угловая октаэдрическая деформация по (3.26) равна:
(3.31)
В произвольных осях:
(3.32)
Важные значения имеют величины, пропорциональные γокт, на-зываемые интенсивностями деформаций:
– линейной:
(3.33)
– сдвиговой:
Г
=
Г=
(3.34)