3.10 Инварианты тензора малых деформаций

Как и каждый симметричный тензор 2-го ранга, ε_ij имеет 3 базисных инварианта, из которых линейными преобразованиями можно получить бесконечное множество других инвариантов. В произ-вольных осях базисные инварианты следующим образом выражаются

через компоненты тензора:

(3.18)

Относительное изменение объема Θ частицы сплошной среды в результате деформации, в соответствии с физическим смыслом дивергенции, равно:

(3.19)

Т.о. видно, что первый инвариант ε_ij равен относительной объемной деформации. Если среда несжимаема, то 0. Отсюда следует условие несжимаемости:

ε _x + ε_y + ε_z = 0, (3.20)

которое в таком виде справедливо только при постоянной плотности сплошной среды.

Тензор малых деформаций можно разложить на шаровую и девиаторную части:

или ε_ij = ε₀₀ + d_ij.

Шаровая часть описывает изменение объема (которое при ОМД бывает только упругим), а девиаторная – изменение формы тела, упругое или пластическое – в зависимости от нагрузки.

Если символом ε_о обозначить среднюю линейную деформацию:

то тогда:

Первый инвариант девиатора тождественно равен нулю. Второй инвариант:

(3.21)

3.11 Главные деформации

Вследствие симметрии тензора ε_ij в каждой точке деформируемого тела есть три взаимно перпендикулярных направления, называемых главными осями. Они обладают тем свойством, что элементарные кубы, построенные на этих осях, при деформации изменяют только длину ребер, а углы между их гранями остаются неизменными, как это

видно по рисунку 3.12:

Рисунок 3.12 − Главные деформации

Главные оси обозначаются индексами 1, 2, 3. Линейные деформации вдоль главных осей называются главными деформациями. Правило индексов:

ε₁ ≥ ε₂ ≥ ε₃ .

Главные деформации являются экстремальными значениями линейных деформаций в данной точке среды. В связи с этим ε₁ называется максимальной, ε₃ – минимальной, а ε₂ – средней линейными деформациями.

Характеристическое уравнение ε_ij позволяет определить величину главных деформаций:

(3.22)

Направление главных осей (главные направления) ε_ij находятся так же, как и у любого симметричного тензора 2-го ранга. В главных осях выражения для инвариантов ε_ij упрощаются:

(3.23)

Деформация в направлении в главных осях:

(3.24)

Линейная деформация:

(3.25)

Угловая деформация:

(3.26)

Доказательства вышеприведенных положений совпадают с соответствующим доказательством для напряженного состояния. Т.о. видно, что между теориями напряженного и деформированного состояний имеется глубокая аналогия. Большинство соотношений для деформированного состояния (при малых деформациях) может быть получено из соответствующих формул для напряженного состояния, если в них вместо компонент σ_ij подставить компоненты ε_ij .