5.4 Потенциальная энергия упругого деформирования

Под действием внешних сил упругое тело деформируется и, следовательно, внешними силами совершается работа. Эта работа превращается в потенциальную энергию Э_п , которая при снятии нагрузки расходуется на восстановление первоначальной формы и объема тела. При анализе процесса деформирования в бесконечно малых окрестностях точек пространства, заполненного сплошной средой, используется понятие удельной потенциальной энергии:

(5.11)

Для определения величины э_п необходимо составить сумму произведений из компонент σ_ij и ε_ij, т.к. при делении ∆lP на объем W получим:

Поскольку напряжения и деформации увеличиваются от нуля по линейному закону, то работа напряжений будет равна половине произведения напряжения на деформацию. Например, при одноосном растягивании вдоль оси х: э_х = . В общем случае удельная потенциальная энергия равна:

э_п= , (5.12)

где работа касательных напряжений получена как произведение момента пары τ_ij на угол поворота γ_ij.

Полная э_п может быть разложена на удельную потенциальную энергию изменения объема и изменения формы тела:

э_п=э_о +э_ф,

где э_о = .

Используя (5.6), найдем:

э_о = (5.13)

Удельная энергия формоизменения определяется вычитанием:

э_ф = э_п –э_о.

После преобразований с использованием (5.9) получим:

Используя выражения для σ_окт и τ_окт через σ_о и компоненты σ_ij , найдем:

э_о= (5.14)

э_ф = (5.15)

Обобщая изложенное, можно заключить, что

Составив произведение ½ σ_i ε_i и используя выражение для интенсивности нормальных напряжений (2.35) и линейных деформаций (3.33), получим:

(5.16)

Т.е. работа интенсивности напряжений на интенсивности дефор- мации равна удельной энергии формоизменения.

5.5 Постановка задач в теории упругости

Задано деформируемое твердое тело уравнением своей поверхности до деформации: = 0. Физические свойства тела заданы модулями упругости. Граничные условия, к которым сводятся краевые условия для квазистатических процессов и упругого равновесия, могут быть трех видов:

1) на всей поверхности задано распределение поверхностных нагрузок:

где – координаты точек поверхности тела. Связь поверностных нагрузок с компонентами σ_ij устанавливается соотношениями Коши:

,

где l_i – косинусы нормалей к поверхности тела. Это т.н. «статические граничные условия» (СГУ);

2) на всей поверхности заданы смещения Это т.н. «кинематические граничные условия» (КГУ);

3) на части поверхности заданы СГУ, а на другой – КГУ. Это – смешанные граничные условия (СмГУ).

Требуется определить:

а) компоненты и для всех (в т.ч. и поверхностных) точек тела после деформации;

б) компоненты для всех точек тела.

Для решения этих задач, содержащих в общем случае 15 неиз-

вестных, имеются следующие 15 уравнений:

– равновесия:

–зависимости Коши: (5.17)

– обобщенного закона Гука:

Такова постановка прямой задачи теории упругости: по задан-ным граничным условиям определить форму тела после деформации и поля напряжений, смещений или деформаций в нем.

Имеется также обратная задача: по некоторым известным полям , или u_i находят нагрузку на поверхности, вызвавшую эти поля (т.е. определяются граничные условия). Обратная задача решается значительно проще прямой, но возникает она редко.

На практике чаще встречается контактная задача: на части поверхности тела АВ (рис.5.2) имеется контакт с другим телом (возможно, абсолютно жестким).

Рисунок 5.2 − Контактная задача

Здесь известны нормальные составляющие смещения. Должен быть задан закон трения (например, Амонтона ). На сво-

бодных поверхностях АС и ВД ≡ 0. Известны также упругие константы деформируемого тела.

Требуется найти форму тела после деформации (на участках АС и ВД), напряжения на поверхности контакта σ_п и τ_к и, иногда, поля

напряжений и деформаций внутри тела. Эта задача является са-

мой трудной.