8.3 Сложение и умножение векторов

Сложение векторов обладает коммутативностью и ассоциативностью [11]:

Для сложения (вычитания) векторов нужно сложить (вычесть) их соответствующие компоненты. Например:

= 24,6 + 7,2 – 1,4 ;

= 11,4 – 11,0 + 7,1 ;

= 36,0 – 3,8 + 5,7

Произведение вектора на скаляр k есть вектор ,модуль которого в раз отличается от модуля , а направление совпадает с при k > 0 и противоположно ему при k < 0:

Умножение на скаляр подчиняется правилам:

Скалярным произведением 2 векторов и _· называется произведение их модулей на косинус угла между ними:

_{Скалярное произведение коммутативно и дистрибутивно:}

_{В координатной форме скалярное произведение равно:}

_{Т.о. результатом скалярного произведения двух векторов является не вектор, а скаляр.}

_{Векторным произведением двух векторов является третий вектор}

, перпендикулярный к плоскости векторов–сомножителей и направленный в ту сторону, откуда поворот от 1-го сомножителя ко 2-му на меньший угол виден против хода часовой стрелки и равен по величине площади параллелограмма, построенного на этих векторах (рис. 8.3):

Рисунок 8.3 − Векторное умножение

Результатом векторного произведения двух векторов является аксиальный вектор . Аксиальными называются векторы, направление которых устанавливается соглашением и которые поэтому изменяют свое направление при замене правой системы координат на левую. Векторы, направление которых определяется только физическим смыслом отображаемого параметра (сила, скорость) и которые вследствие этого не изменяют своего направления при изменении системы координат, называются полярными. Векторное произведение дис-трибутивно, но антикоммутативно:

В координатной форме:

8.4 Тензоры 2-го ранга

Тензор (2-го ранга) – это переменная величина, определямая в любой системе координат n² компонентами:

(8.3)

которые при изменении системы координат преобразуются в компоненты A_i'k′ по соотношению:

A_i'k′ = а_i'j а_k'm А _jm , где i, k,j, m = 1, 2, … , n (8.4)

Здесь, как и везде в дальнейшем, имеется ввиду прямоугольная декартова система координат [11].

Тензоры 2-го ранга изображаются в виде матрицы их компонент

(8.3) или в сокращенной записи, а_ij , Т_кm и т.д., где подразумевается изменение индексов от 1 до 3 (из-за 3-мерности физического пространства).

Количество компонент тензора k зависит от его ранга p:

k = n^P ,

где n – размерность пространства.

У скаляра p= 0. Поэтому n^о = 1. Это тензор 0-го ранга.

У вектора p = 1. Поэтому n¹ = n . Это тензор 1-го ранга.

Тензоры 2-го и более высоких рангов необходимы для описания более сложных, чем векторные, физических величин. Например, для описания деформации изотропного упругого тела в точке необходимо 3²=9 чисел, а упругих свойств анизотропного – 3⁴=81 число.

Тензор можно определить и как совокупность n векторов. Например, для 3-мерного пространства:

где совокупность трех векторов преобразуется при повороте системы координат по соотношению: