7.13 Определение поля скоростей в млс*

Чтобы найти уравнения для скоростей в МЛС, воспользуемся системами (7.9) и (7.20). В результате получим:

(7.31)

Если поле напряжений найдено, следовательно, уже известна функция θ(x,y), то система (7.31) является линейной. Она относится к гиперболическому типу и ее характеристики совпадают с ЛС [28]. Чтобы выяснить свойства поля скоростей при принятых в МЛС допущениях, перейдем к локальной системе координат, в которой осями будут касательные к ЛС S_a и S_b (см. рис.7.19). Обозначим состовляющую вектора скорости течения металла вдоль ЛС семейства а через u, а

вдоль ЛС семейства b – через w (рис.7.34).

Рисунок 7.34 − Компоненты вектора скорости течения

Тогда из системы (7.31) следуют соотношения:

(7.32)

а производная неопределенна. Следовательно, скорости относительных удлинений вдоль ЛС равны нулю. Линии скольжения не «удлиняются» и не «укорачиваются»; имеет место только сдвиг вдоль этих линий.

Х.Гейрингер представила вышеозначенные соотношения в форме, более удобной для расчетных целей. Скорость удлинения бесконечно малого отрезка dS_a ЛС а – семейства в направлении а при отбрасывании бесконечно-малых второго порядка будет равна (см.рис.7.35).

Рисунок 7.35 − К выводу соотношений Гейрингер

Вследствие (7.32) вдоль а – линии это выражение равно нулю. Аналогичное соотношение будет и для b- линии. В совокупности они называются уравнениями для скоростей вдоль ЛС или соотношениями Гейрингер:

(7.33)

В случае простого напряженного состояния поле скоростей имеет ряд простых свойств. Если СЛС равномерная и угол θ = 0, то из (7.33) вытекает, что u = u(b) и w = w(a), где u(b) и w(a) – произвольные функции. Течение металла происходит в а – направлении или b – нап-равлении или одновременно в обоих направлениях.

Если СЛС центрированная, то угол θ постоянен вдоль радиусов.

Поэтому вдоль этих линий u = const, т.е. u(θ). По (7.33):

(7.34)

где f(θ), h(ρ) – произвольные функции; (ρ – расстояние от центра СЛС). Т.о. в простых СЛС вдоль прямых ЛС, где угол θ = const, составляющая скорости вдоль них постоянна.

Из уравнений (7.31) следует, что для среды, находящейся в пластическом состоянии, возможно равномерное поле скоростей (v_x = сonst и v_y = const) и эта область будет перемещаться как твердое тело.

Из соотношений Гейрингер следует одно важное свойство, позволяющее находить поле скоростей по известной СЛС, без решения уравнений (7.31) . Для этого от физической плоскости XOY переходят к плоскости скоростей V_xOV_y, в которой строится план скоростей, именуемый годографом (рис.7.36).

Рисунок 7.36 − Переход от физической плоскости

к плосткости скоростей

Поскольку компоненты скорости вдоль ЛС не изменяются, а ско-

рость в общем случае свою величину меняет, то при перемещении вдоль ЛС бесконечно-малое приращение вектора скорости должно

быть ортогональным к ЛС. Поэтому если двигаться вдоль ЛС, отклады-

вая непрерывно из начала координат в плоскости V_xoV_y вектор скорости, то конец вектора будет описывать траекторию, ортогональную к данной ЛС (см. рис.7.36). Следовательно, годограф и СЛС взаимно ортогональны. Более строгое доказательство этого факта приведено в [42]. Благодаря ему можно найти поле скоростей, отображая СЛС из физической плоскости в плоскость годографа.

Поле скоростей в МЛС можно находить и численным методом, незначительно отличающимся от соответствующей процедуры для поля напряжений [28].

Начальная характеристическая задача (рис.7.29) формулируется следующим образом. На отрезках ЛС ОА и ОВ могут быть заданы нормальные составляющие скорости (w на ОА и u на ОВ). Тогда ка-сательные находятся по (7.33):

вдоль а и b – линий соответственно. Постоянные интегрирования на-ходятся из условий непрерывности в точке О.

Другой вариант – заданы обе составляющие, удовлетворяющие (7.33). Обозначим u_m-1,n, w_m-1,n, u_m,n-1,w_m,n-1 значения скоростей u и w в узлах m-1,n; m,n-1 СЛС. Заменяя в (7.33) бесконечно-малые приращения конечными, получим:

(7.35)

Построение следует начинать с узла 1,1.

В случае задачи Коши на линии ОВ, не являющейся ЛС, должны быть заданы u и w. Построение поля скоростей осуществляется при помощи соотношений (7.35).

Когда задача является смешанной, вдоль а – линии задана нормальная составляющая скорости w (рис.7.33), а на линии ОВ должна быть известна связь между компонентами скорости:

где q – постоянная. Пусть имеет место первый случай, когда угол θ, заданный на ОВ, равен углу наклона ЛС а - семейства в той же точке. СЛС известна, поэтому значения u_1,1; w_1,1 в узле 1,1 вычисляются по формулам:

(7.36)

В следующих узлах 2,1; 3,1 и т.д. значения u и w определяются по (7.35), а для точки 2,2 нужно вновь исходить из уравнений, подобных (7.36).

Следует отметить, что многие технологические задачи решаются

при помощи разрывных полей напряжений и скоростей (см.п.6.12), теория которых изложена в более полных руководствах по МЛС [25,28,35,36,42]. В [35] дан матрично-операторный метод построения СЛС, являющийся более эффективным для решения задач с неполными граничными условиями.