3.3 Поле относительных смещений

Рассмотренные показатели деформации применимы только к линейной деформации. В общем случае вопрос об изменении абсолютных деформаций (т.е. вектора смещений ) решается следующим образом: берется полная производная от функции по векторному аргументу .Известно, что изменение скалярного поля описывается векторным полем его градиента. Изменение векторного поля характеризуется тензором – производной векторной функции по векторному аргументу. В случае поля смещений производная вектор-функции по векторному аргументу будет тензором второго ранга с компонентами:

(3.3)

Тензор (3.3) называется тензором относительных смещений. Если в каждой точке среды задан тензор (3.3), то тем самым определено поле относительных смещений. Движение среды, естественно, рассматривается в переменных Эйлера.

Установим геометрический смысл компонент тензора (3.3). Рассмотрим вначале более простой случай 2-х мерной или плоской деформации. Сравним смещения в двух бесконечно близких точках М и

N, лежащих на одной прямой, параллельной оси х (рис.3.3):

Рисунок 3.3 − Деформация среды вдоль оси X

Деформации считаем малыми. Приращение компоненты u_х при перходе в точку N равно:

(3.4)

т.к. u_х (х, у) считается непрерывной вместе со своими производными функцией координат (рис.3.3). Вследствие малости смещений члены второго и более высоких порядков малости в (3.4) отсутствуют. Это приращение является абсолютной деформацией отрезка М N = dx. Его относительная деформация:

Т.о. градиент компоненты u_х в направлении х есть линейная деформация ε_х .

Приращение компоненты u_y при переходе в точку N :

(3.5)

Оно является абсолютным изменением смещения в поперечном направлении на длине dx. Относительное изменение смещения:

,

т.к. из-за малости деформаций этот угол мал. Эта компонента показывает, насколько быстро изменяется поперечное смещение u_у при перемещении в направлении х (т.е.градиент u_у по х). Геометрический смысл этой компоненты более сложен и будет рассмотрен в дальнейшем.

Если точки М и N будут лежать на одной прямой, параллельной оси у (рис.3.4), то по аналогии будем иметь слеующие две компоненты изменения поля :

– линейную

– и угловую

Рисунок 3.4 − Деформация среды вдоль оси Y

В общем случае, когда М и N расположены на прямой, не параллельной ни одной из координатных осей, будут иметь место все 4 компоненты, образующие тензор относительных смещений для 2-х мерного (плоского) случая:

Т.о. диагональные компоненты тензора относительных смещений являются относительными линейными деформациями среды в направлениях осей системы координат. Недиагональные, несколько забегая вперед, являются суммой поворотов и угловых деформаций элементарных объемов.

В трехмерном пространстве компоненты смещения точки N, координаты которой до деформации были x+dx, y+dy и z+dz, можно с достаточной точностью выразить в виде:

(3.5)

Выражение (3.5) есть результат разложения в ряд Тейлора вектор-функции при отбрасывании членов 2-го и более высоких порядков малости. Легко видеть, что в (3.5) коэффициенты при слагаемых правой части являются компонентами тензора (3.3). Т.о. каждая компонента тензора относительных смещений показывает, насколько интенсивно изменяется соответствующая проекция смещения при переходе на бесконечно малое расстояние в направлениях осей координат.