5.12 Способы решения задач теории упругости*

К настоящему времени разработаны разнообразные способы ре-шения различных задач теории упругости, в т.ч. объемных и контактных. Среди них наибольшего совершенства достигли способы решения плоской задачи. Выше был рассмотрен один из простейших способов – использование функции напряжения для решения при граничных условиях в виде полиномов. Однако он применим только для весьма ограниченного класса задач, редко встречающихся на практике. Его ценность – в возможности получать точные решения для тестирования других методов.

Значительно большей общностью этот метод обладает, если функцию напряжения брать в виде ряда Фурье [14]. В этом случае каждая компонента нагрузки может иметь тот вид, который выражается рядами Фурье. Следовательно, нагрузки могут даже иметь разрывы.

Функции напряжений также применяются при исследованиях напряжений в круглых дисках и кольцах, криволинейных стержнях узкого прямоугольного сечения с круговой осью и т.п. Но в этом случае используется система полярных координат.

В случае, если нагружаемые тела имеют более сложную конфи-гурацию и удобно использовать криволинейные координаты, большей эффективностью обладает метод Колосова–Мусхелишвили [19]. Суть его в том, что функция напряжения представляется через две аналитические функции («комплексные потенциалы»), через которые выражают также напряжения и перемещения. Комплексные потенциалы отыскиваются непосредственно из граничных условий конформным отображением с использованием интегральной теоремы Коши–Гурса и интегральной формулы Коши. Для границ «правильной» формы (эллиптических и т.п.) этот метод позволяет находить решения непосредственным интегрированием.

Объемные задачи, если не считать элементарных типа растяжения и изгиба призматических стержней, решаются численными методами на компьютерах. Наиболее популярным в настоящее время численным методом решения задач в напряжениях или перемещениях является метод конечных элементов (МКЭ) [20]. В отличие от старейшего численного метода конечных разностей (МКР), в котором дифференциальные операторы аппроксимируются конечно–разностными аналогами, в МКЭ искомая непрерывная функция аппроксимируется кусочно–непрерывной (сплайн-функцией). При этом исследуемая область сплошной среды достаточно произвольным образом разбивается на конечные элементы, что, в частности, позволяет применять этот метод для задач с любой формой области. Для двумерных областей чаще всего используются элементы в форме треугольников и четырехугольников (рис. 5.9) .

Рисунок 5.9 − Разбиение области на конечные элементы

При этом сетка разбиения может быть и нерегулярной, что позволяет более подробно рассматривать подобласти, представляющие наибольший интерес.

Для объемных тел наиболее употребимы конечные элементы в виде тетраэдров и параллелепипедов, которые также могут иметь прямолинейные и криволинейные границы.

Аппроксимация искомой функции в МКЭ может задаваться произвольным образом, но обычно используют полиномы, которые подбираются так, чтобы обеспечить непрерывность функции в узлах на границах элементов.

Узловые значения искомой функции рассчитываются двумя способами. В первом из них исходное дифференциальное уравнение (или система уравнений) заменяется соответствующим функционалом. Это – вариационная постановка задачи, при которой решениями являются функции, минимизирующие данный функционал. При решении задач теории упругости в напряжениях минимизируется функционал, описывающий дополнительную работу системы. Примером является функционал задачи о кручении стержня:

где φ – функция напряжений для кручения;

Е – модуль упругости;

– угол закручивания на единицу длины.

При решении в перемещениях минимизируется функционал, описывающий потенциальную энергию системы. Подбор функционала является нетривиальной процедурой, требующей глубоких знаний в данной области исследования. Но для классической линейной теории упругости функционалы уже известны и поэтому эта проблема отпадает.

Другим способом вычисления узловых значений функций является метод Галеркина. Его преимуществом является то, что используется исходное дифференциальное уравнение. Поэтому данный метод можно применять в тех случаях, когда заменяющий уравнения функционал неизвестен. Метод Галеркина является частным случаем метода взвешенных невязок и основан он на минимизации ошибки:

ε = L u – f

приближенного решения u исходного дифференциального уравнения L u – f = 0,

где L – дифференциальный оператор.

Завершающим этапом определения узловых значений искомой функции является решение системы алгебраических уравнений. Зная узловые значения функции и ее аппроксимирующие полиномы в конечных элементах, легко найти аппроксимацию в любой точке области.

Более новым, и во многих случаях более эффективным является метод граничных элементов (МГЭ) [21]. Он состоит в переходе от исходных дифференциальных уравнений в частных производных к эквивалентным интегральным уравнениям. Когда такой переход возможен, решение получается с минимальными вычислительными затратами и с более высокой точностью, чем МКЭ. Важно, что размерность исходной задачи в МГЭ уменьшается на 1: двумерные задачи преобразуются в одномерные, а объемные – в двумерные, плоские. Единственный недостаток МГЭ в том, что все его варианты используют принцип суперпозиции, поэтому область его применимости ограничена классом линейных или линейных относительно приращений задач. Однако к этому классу как раз и относятся задачи линейной теории упругости. По-

этому МГЭ представляется почти идеальным методом для их решения.

В любом варианте МГЭ результатом перехода к интегральным уравнениям, в конечном счете является система уравнений, включающая значения переменных только на границе области. Поэтому, в отличие от МКР и МКЭ, последующая дискретизация задачи производится только на границе исследуемой области. Вот почему размерность задачи уменьшается на 1, а точность решения увеличивается (решение

можно находить в любой точке области, а не только в узлах сетки, как в МКЭ, без последующей аппроксимации внутри конечного элемента) (рис.5.10):

Рис.5.10 − Дискретизация границы области в МГЭ

Алгоритм МГЭ состоит из таких этапов [22]:

1.Формирование входных данных (номера узлов граничных элементов, номера самих элементов);

2.Переход от исходного дифференциального уравнения к интеграль-ному.

Например, если уравнение:

при то:

– сначала находится сингулярное решение (т.к. для большинства уравнений в частных производных существуют сингулярные решения, отвечающие единичным воздействиям в неограниченной области). В данном случае:

, (5.37)

где – значение искомой функции в произвольной точке области;

– единичное возмущающее воздействие в точке ξ .

Величина , называемая ядром интегрального уравнения, определяется, в свою очередь, уравнением:

,

где k – т.н. коэффициент проницаемости среды;

и выбраны так, чтобы при

Далее рассматриваемая область G₁ «помещается» в бесконечную область, для которой известно решение (5.37). При этом требуется, чтобы значения на границах области совпадали с заданным граничным условием Для этого на границе вводятся фиктивные источники неизвестной интенсивности в расчете на единицу длины L. Подставив в (5.37) и проинтегрировав его по длине границы, получают искомое решение:

(5.38)

Это и есть интегральное уравнение, эквивалентное исходному дифференциальному. Произвольная постоянная С подбирается т.о., чтобы суммарное «излучение» от всех источников обращалось в нуль на бес-

конечно удаленной границе.

Для обеспечения заданных граничных условий необходимо выполнение равенства:

(5.39)

На основании (5.39) строится система интегральных уравнений относительно неизвестных фиктивных источников . После их нахождения, значения искомой функции в любой внутренней точке области находятся по (5.38). Если бы (5.39) удавалось интегрировать аналитически, то для задачи было бы найдено точное решение. Практически (5.39) интегрируются численно, что является единственным источником ошибок в МГЭ.

3. Для приближенного решения (5.39) производится дискретизация гра-ницы рассматриваемой области. В простейшем случае граница аппроксимируется линейными элементами (рис. 5.10). Отдельный элемент определяется координатами своей средней точки. Интенсивность источников принимается постоянной в пределах элемента. С учетом сказанного выражение (5.39) преобразуется в сумму:

(5.40)

где – координата средней точки q-го граничного элемента.

Составляя аналогичные уравнения для каждого граничного элемента и проводя суммирование по всем элементам, получают разрешающую систему алгебраических уравнений. Решения этой системы определит неизвестные фиктивные источники. Подстановка найденных значений в определяющее интегральное уравнение позволяет вычис-

лить значение искомой функции в любой внутренней точке области.

Программирование МГЭ требует несколько больших усилий по сравнению с МКЭ. Однако пользование программой проще, т.к. объем задаваемой исходной информации значительно меньше, чем в МКЭ.

Контрольные вопросы к гл. "Основы теории упругости"

1. Какие деформации называются упругими?

2. Какие деформации считаются пластическими?

3. Что изучает теория упругости?

4. На какие виды подразделяется теория упругости?

5. При каких условиях справедлив обобщенный закон Гука?

6. Запишите обобщенный закон Гука через напряжения.

7. Запишите обобщенный закон Гука через деформации.

8. Чему равен объемный модуль упругости?

9. Как формулируется закон упругого изменения формы?

10.Чему равна удельная потенциальная энергия в упругом теле?

11.Запишите выражения для удельной потенциальной энергии

изменения объема и изменения формы упругого тела.

12.Как можно выразить удельную потенциальную энергию упругого формоизменения через интенсивности напряжений и деформаций?

13.Как ставится прямая задача теории упругости?

14.Какие виды граничных условий бывают при упругом деформирова- нии?

15.Какие есть уравнения для решения задач теории упругости?

16.Как ставится обратная задача теории упругости?

17.Как ставится контактная задача теории упругости?

18.Как решаются задачи теории упругости в перемещениях?

19.Запишите уравнения Ляме для общего случая.

20.Как решаются задачи теории упругости в напряжениях?

21.Почему при решении задач в напряжениях нужно использовать уравнения равновесия?

22.При каких условиях напряженное состояние в упругой среде будет плоским?

23.Запишите уравнения для плоского напряженного состояния.

24.Как выглядят уравнения Лямэ при плоском напряженном состоя-нии?

25.Запишите уравнения Леви для упругой среды.

26.При каких условиях деформированное состояние упругой среды будет плоским?

27.Чем уравнения плоского напряженного состояния отличаются от уравнений плоской деформации?

28.Что называется функцией напряжений?

29.Зачем используется "стержневая аналогия"?

30.Какими способами решаются плоские задачи теории упругости?

31.Какими способами решаются объемные задачи теории упругости?

32.В чем сущность МКЭ?

33.В чем преимущества МГЭ перед другими численными методами?