Практическое применение параметрических критериев разнообразия признака

Дисперсия D	1). Для оценки вариабельности рядов распределения 2). Для факторного анализа (дисперсионный анализ) 3). Для статистической оценки различий двух совокупностей с одинаковыми или близкими значениями средних (критерий Фишера)
Среднеквадратическое отклонение 	1). Для оценки данных одноименных (однородных) числовых рядов при близких средних: чем больше,  тем больше разброс значений, соответственно среднее арифметическое менее типично для данного ряда 2). Для оценки типичности среднего (правило трех сигм) в изолированном ряду. 3).Для определения доверительных интервалов статистических коэффициентов и репрезентативности выборочных исследований. 4). Для диагностической оценки показателей физического развития.
Коэффициент вариации Cv	1).Используется для сравнения вариабельности значений разноименных признаков. 2) Для получения нормированных оценок вариабельности значений (малая, средняя, большая).

Простейшими количественными характеристиками рассеивания вариант являются лимит и амплитуда.

Лимит (Lim) указывает границы вариационного ряда. Например, самый большой вес 95 кг, самый маленький 48 кг. Lim=(48÷95 кг).

Амплитуда, или, как еще говорят, вариационный размах (Ampl, Range) исчисляется как разность между максимальным и минимальным значениями признака. Ampl=95-48=47 кг.

1. Дисперсия

Существенным недостатком лимита и амплитуды как критериев вариабельности является то, что они полностью зависят от крайних значений признака в вариационном ряду. При этом не учитываются колебания значений признака внутри ряда. Наиболее просто определить однородность числового ряда с учетом всех значений составляющих этот ряд - через отклонения всех вариант от центра ряда (среднего арифметического), поскольку каждое отдельное наблюдение на какую-то величину не совпадает со средним арифметическим. Разность между конкретной вариантой и среднего арифметического из этого ряда называется отклонением от среднего di=(Vi-M).

Для получения обобщающей характеристики числового ряда использовать сумму отклонений от среднего нельзя. Это связано с тем, что сумма всех отрицательных и положительных отклонений от среднего всегда равна нулю. Можно избежать взаимной компенсации отклонений, беря квадраты отклонений, т.к. при возведении в квадрат отрицательные и положительные числа дают только положительные значения. При усреднении всех отклонений числового ряда, получается средний квадрат отклонений, который называется дисперсией (Variance) - D. Алгебраическое выражение дисперсии D=гдеn - число наблюдений, d- отклонения вариант от среднего d_I=(Vi-M). Во взвешенном ряду дисперсия вычисляется по формуле D.

Таблица 83

Способы вычисления дисперсии

Простой ряд D			Простой ряд		Взвешенный ряд или
V	d	d2	V	V2	V	P	VP	V2 P
15	-2	4	15	225	15	1	15	225
16	-1	1	16	256	16	3	48	768
17	0	0	17	289	17	5	85	1445
18	1	1	18	324	18	4	72	1296
19	2	4	19	361	19	2	38	722
M=17 d=0		d2 =10	V2 =1455		P=15		VP=258	V2P=4456
D=10/5=2			D=1455/5 - 172 =2		M=258/15= 17,2 D=4456/15-17,22=1,2

Упрощенные способы расчета дисперсии позволяют избежать вычислений отклонений d. В этом случае, для не сгруппированного ряда D=, где -сумма квадратов вариант ряда, M ²- квадрат среднего арифметического, n - число наблюдений. Для сгруппированного ряда формула вычисления дисперсии упрощенным способом выглядит следующим образом D=,где - сумма произведений квадратов вариант ряда на их частоту , M ²- квадрат среднего арифметического, - число наблюдений, определяемое как сумма частот.

Если в результате статистического наблюдения получены несколько групп значений признака, то для вычисления общей дисперсии можно группы в единую совокупность не объединять. Более того, если совокупность имеет большое число наблюдений (большой объем), то в случае «ручного» проведения вычислений целесообразно ее разбить на несколько групп. В том и другом случаях вычислением дисперсий отдельных групп можно заменить непосредственное вычисление общей дисперсии. Поскольку общая дисперсия равна сумме внутригрупповой и межгрупповой дисперсий. Это свойство дисперсий имеет большое теоретическое и практическое значение, являясь основой широко применяющегося в научных исследованиях дисперсионного анализа.

Формула для расчета общей дисперсии представлена выражением Dобщ=Dвнгр+Dмежгр. , где:

- Dобщ - общая дисперсия, дисперсия значений признака всей совокупности относительно общего среднего;

- Dвнгр - внутригрупповая дисперсия, среднее арифметическое групповых дисперсий , взвешенных по объемам групп Dвнгр = , где n- объем всей совокупности, Nj-обьем группы j; Dj - дисперсия группы j;

- Dмежгр - межгрупповая дисперсия Dмежгр=, где Мj - групповое среднее группы j , М - общее среднее; n- объем всей совокупности, Nj-обьем группы j.

Практически расчет общей дисперсии не представляет труда. Например: требуется найти общую дисперсию совокупности состоящей из двух групп. Вычисления проходят по следующим этапам:

1 Этап

Таблица 84