2. Средние величины

Традиционно считается, что средние величины представляют собой достаточно хорошо известный тип производных величин. Однако, понятие «средние величины» в статистике не огранивается понятием «среднее арифметическое». хорошо известным любому человеку, чей образовательный уровень превышает начальное среднее образование. В статистике выделяют множество различных средних, объединенных, как минимум, в две группы: степенные и структурные средние.

1. Среднее арифметическое. Статистическое взвешивание.

Наиболее употребительным из степенных средних величин является среднее арифметическое (англ - Mean) . Среднее арифметическое может обозначаться различным символом (М, А, и др.). В медицинской статистике чаще всего для его обозначения применяется символ М (от латинского Mediа - середина). Для простого среднего арифметического используется формула: , или в более упрощенном виде , где n - число наблюдений, V_i – исходные числовые данные, называемые вариантами: (V₁, V₂, V₃, V₄ .. V_n). В основе ручных, без использования компьютера и специальных программ, вычислений средней величины лежат две простые операции: сложение значений всех вариант и деление полученной суммы на число наблюдений.

В ряде случаев, когда наблюдений (вариант) достаточно много или исходные данные представлены не в виде простого ряда чисел, а в виде таблиц, при ручных расчетах вычисляют взвешенное среднее арифметическое. Взвешенным его называют, поскольку в основе вычислений здесь лежит учет частот, т.е. повторяемости одинаковых вариант в исходном ряду данных. Понятно, чем больше частота повторений той или иной варианты, тем большую роль, большую значимость, больший вес, она имеет в числовом ряду. Среднее арифметическое, рассчитанное в таком ряду, называют взвешенным средним , где n - число наблюдений, V_i - варианты, P_i - их частоты. Число наблюдений во взвешенном ряду определяется как сумма частот Соответственно, формулу для вычисления среднего можно представить в виде. При вычислении среднего взвешенного последовательно выполняются следующие операции (Таблица 69, второй раздел):

1. Каждая варианта в таком ряду умножается на частоту ее встречаемости, как бы "взвешивается". (V₁Р₁, V₂Р₂, V₃Р₃ .. V_nP_n). Чем больше частота варианты, тем больший "вес" она имеет при вычислении среднего. В том случае, когда среднее арифметическое определяется в интервальном ряду, то есть варианты разбиты на группы (например, 15-19, 20-24, 25-29 и т.д.), частоты перемножаются на серединные значения этих групп. Соответственно, в случае дискретного ряда (15+19)2=17, (20+24)/2=22, (25+29)/2=27 и т.д.

2. Полученные произведения суммируются.

3. Сумма произведений делится на число наблюдений, в результате чего получается среднее арифметическое.

Таблица 69

Способы вычисления среднего арифметического

Простое среднее		Взвешенное среднее			Способ моментов
V	P	V	P	VP	V	P	d	Pd
15	1	15	1	15	15	1	-2	-2
16	1	16	3	48	16	3	-1	-3
17	1	17	5	85	A=17	5	0	0
18	1	18	4	72	18	4	1	4
19	1	19	2	38	19	2	2	4
V=85	n=5	P=15		VP =258	P=15		PD=3
M=85/5=17		M=258/15=17,2			M=17+(3/15)1=17,2

Упрощенным вариантом ручного вычисления среднего арифметического в сгруппированном ряду является вычисление по способу моментов. Не вдаваясь в математическое обоснование способа моментов, можно выделить следующие этапы вычисления среднего этим способом (Таблица 69, третий раздел):

1. В ранжированном ряду распределения выбирается условное среднее А. За условное среднее можно принять любую варианту данного ряда. Для удобства вычисления лучше брать варианту ближе всего лежащую к центру ряда распределения и чаще всего встречающуюся (с наибольшей частотой Р).

2. Выставляются условные отклонения d. Их абсолютные значения последовательно увеличивают на единицу, начиная от 0, который соответствует варианте, принятой за условное среднее. Знак минус обозначает уменьшение вариант от условного среднего. Плюс - соответственное увеличение вариант.

3. Произведения условных отклонений на соответствующие им частоты (Pd) суммируются с учетом отрицательных знаков (Pd).

4. Для того, чтобы определить среднее арифметическое, полученная сумма делится на число наблюдений n =. Частное от этого деления умножается на величину интервала вариационного ряда (h); h, и к результату перемножения прибавляется условное среднее (А); А+h.

Нетрудно заметить, что вариационные ряды представляют собой арифметические прогрессии. В этих прогрессиях отдельные числовые значения или группы числовых значений признака располагаются строго упорядочено и с определенным интервалом. Вместе с тем, иногда встречается ситуация, когда необходимо вычислить суммарную среднюю или «среднее из нескольких средних» в ситуации неравных по численности исходных групп данных. В этом случае среднее арифметическое вычисляют, рассматривая каждую группу как самостоятельную совокупность. В каждой из этих групп сначала вычисляется своё среднее. Затем на основе этих данных определяют общее среднее, учитывая число наблюдений в каждой группе М_общ=. Для наглядности рассмотрим пример.(Таблица 70)

Таблица 70