Способ вычисления общего среднего арифметического

Варианты V1	Частоты P1	V1P1		Варианты V2	Частоты P2	V2P2
2	6	12		3	26	78
3	7	21		6	30	180
5	5	25		9	29	261
n1=P1=18		58		n2=P2=85		519
M1=58/18=3,2				M2=6,1

Порядок вычисления общего среднего арифметического может быть одним из двух представленных вариантов:

1.Вычисляем сумму произведений вариант и соответствующих им частот в первой и второй исходных групп данных: V₁P₁+V₂P₂=58+519=577. Затем находим сумму наблюдений в обеих группахn₁+n₂=18+85=103. После чего вычисляем общее среднее арифметическое 577/103=5,6.

2. Вычисляем сумму произведений средних первой и второй групп на соответствующее им число наблюдений: М₁n₁+M₂n₂=8x3,2+6,x85=57,+518,=576,1. Затем находим сумму наблюдений в обеих группах n₁+n₂=18+85=103. После чего вычисляем общее среднее арифметическое 576,1/103=5,6.

Нетрудно заметить, что попытка вычислить общее среднее прямым способом, приводит к ошибочному результату: .

Таким образом, общее среднее равно среднему арифметическому исходных средних, взвешенных по объемам наблюдений. Аналогичное правило сохраняется при вычислении средних значений из взвешенных величин, т.е. величин относящихся к разным объемам наблюдения.

Для наглядности рассмотрим нередко возникающую в клинической и лабораторной практике задачу получения смеси каких-либо компонентов с определенными свойствами. Например: Какая крепость спирта будет у смеси, состоящей из 10 литров 40%, 30 литров 70% и 50 литров 96% спирта?

Принцип решения этой и ей подобных задач состоит в применении правила суммирования взвешенных величин. Исходные данные в виде сгруппированного ряда будут выглядеть так (Таблица 71):

Таблица 71

Вычисление средней концентрации спирта

Крепость спирта	Вес (кг)
40	10
70	30
96	50

Вычисление среднего арифметического ряда и будет ответом на поставленную задачу. М=(4010+7030+9650)/(10+30+50)=81,1. Путем несложного алгебраического преобразования можно решать и обратные задачи. Например, сколько и какой крепости спирта надо добавить, что бы получить необходимую концентрацию в заданном количестве?

Таким образом, при вычислении любого среднего арифметического, будь то среднее в отдельном вариационном ряду или групповое среднее, должны обязательно учитываться весовые значения (частоту встречаемости) отдельных вариант. Собственно говоря, именно поэтому среднее и называется взвешенным. При таких вычислениях абсолютные значения частот могут заменяться их процентным выражением (частостями), то есть их удельными весами (См. раздел «Ряды распределений. Вариационные ряды»).

Иногда удельные веса сами играю роль величин, для которых нужно найти среднее. В таких случаях тоже прибегают к статистическому взвешиванию. Рассмотрим условный пример.

Среди жителей города NN, больных бронхиальной астмой, удельный вес лиц, нуждавшихся в госпитализации в течение года, в одном районе (I) составил 24%, в другом (II)- 16%, а в третьем (III)– 11% . Нужно найти средний процент больных астмой, нуждавшихся в госпитализации. Самый простой вариант расчета . Однако при этом будет допущена ошибка, поскольку при таком расчете не учитывается фактическое число больных астмой в каждом из трех районов города. Для того, что бы избежать неточности нужно взвесить процент нуждающихся в госпитализации по численности известных больных (Таблица 72).

Таблица 72