24.2. Второе уравнение Максвелла
Второе уравнение Дж. Максвелл получил, обобщая закон полного тока (см. гл. 23)
.
(24.2.1)
Физический смысл
второго уравнения Максвелла: переменное
электрическое поле создает вихревое
магнитное поле.
Источником
магнитного поля являются токи проводимости
и переменные электрические поля с
индукцией
.
24.3. Третье и четвертое уравнения Максвелла
Третье уравнение Дж. Максвелл вывел, обобщая теорему Остроградского-Гаусса.
По теореме Остроградского-Гаусса: поток вектора электрической индукции через любую замкнутую поверхность равен алгебраической сумме электрических зарядов, охватываемых этой поверхностью
.
(24.3.1)
Записывая поток электрической индукции в интегральной форме
,
получаем третье уравнение Максвелла
.
Физический смысл третьего уравнения Максвелла: источником электрического поля являются электрические заряды.
Для магнитного поля в соответствии с теоремой Гаусса можно записать следующее выражение:
.
(24.3.2)
Поток вектора магнитной индукции через любую замкнутую поверхность равен нулю. Это означает, что магнитных зарядов в природе нет.
Рассмотренные четыре уравнения Максвелла
;
;
;
и еще три
;
(24.3.3)
;
(24.3.4)
(24.3.5)
образуют полную систему уравнений Максвелла. Уравнения (24.3.3) и (24.3.4) связывают индукцию поля с напряженностью. Последнее уравнение (24.3.5) является законом Ома в дифференциальной форме.
24.4. Первое и второе уравнения Максвелла в дифференциальной форме
Для вывода первого и второго уравнений Максвелла в дифференциальной форме рассмотрим теорему Стокса, которая доказывается в курсе
математики. Теорема
Стокса позволяет перейти от интегрирования
по длине произвольного замкнутого
контура к интегрированию по площади,
охватываемой этим контуром: циркуляция
вектора
,
характеризующего некоторое поле, вдоль
произвольного замкнутого контура
l,
равна потоку
через поверхность S,
натянутую на контур,
.
(24.4.1)
По определению ротор вектора имеет следующий вид
+
.
1) Применим теорему Стокса (24.4.1) к циркуляции напряженности электрического поля по замкнутому контуру
.
(24.4.2)
В первом уравнении Максвелла
( 24.4.3)
заменим левую часть формулы.
Подставляя формулу (24.4.2), в уравнение (24.4.3), можно записать
.
В правой части уравнения полный дифференциал заменен частным потому, что магнитная индукция может зависеть не только от времени, но и от координат.
Сравнивая выражения под интегралами, получаем первое уравнение Максвелла в дифференциальной форме
.
2) Во втором уравнении Максвелла
(24.4.4)
заменим циркуляцию напряженности магнитного поля, применив теорему Стокса (24.4.1),
.
(24.4.5)
Правую часть уравнения Максвелла выразим через интегралы по площади.
Для этого из формулы, определяющей плотность тока,
можно найти силу тока
.
(24.4.6)
Подставив во второе уравнение Максвелла (24.4.4) формулы (24.4.5) и (24.4.6), получаем
.
Из равенства интегралов по площади можно записать
.
(24.4.4)
Эта формула называется вторым уравнением Максвелла в дифференциальной форме.