20.4. Токи при замыкании и размыкании цепи
1
.
Рассмотрим электрическую цепь (рис.
20.4.1), состоящую из двух параллельных
ветвей, в одну из которых подключена
катушка индуктивности L,
а во вторую ветвь проводник сопротивлением
R. В каждую
ветвь цепи подключена лампочка. ЭДС
источника тока обозначена Е.
При замыкании
ключа К лампа Л2 загорается после лампы
Л1. В катушке с ростом силы тока в цепи
от 0 появляется ток самоиндукции
,
направленный противоположно току
I.
Поэтому сила тока в катушке позже
достигает максимального значения.
Выведем формулу изменения силы тока.
По второму закону Кирхгофа для замкнутого
контура можно записать
.
Подставляя ЭДС индукции
получаем
,
.
Умножив и разделив правую часть соотношения на величину сопротивления , получаем
.
Проводя преобразования, учли, что ЭДС источника тока можно считать постоянной величиной, поэтому ее дифференциал равен нулю
.
Проведем разделение переменных и проинтегрируем обе части уравнения
.
Неопределенный интеграл определяется с точностью до постоянной С, поэтому можно записать
или
.
(20.4.1)
В начальный момент времени t = 0 и тока нет = 0. Подставим эти значения в формулу (20.4.1), получим
.
(20.4.2)
Учитывая (20.4.2), можно записать
.
Найдем силу тока
(20.4.3)
Из соотношения (20.4.3) следует, что сила тока в цепи постепенно увеличивается от 0 до максимального значения, которое равно
.
Подставляя в формулу (20.4.3) значения силы тока I = 0 в начальный момент времени t= 0, получаем
П
ри
увеличении времени
сила тока достигает значения
.
График возрастания
силы тока со временем представлен на
(рис. 20.4.2). Чем больше индуктивность
катушки (
),
тем позже сила тока принимает максимальное
значение.
2
.
Рассмотрим электрическую цепь, содержащую
последовательно соединенные лампу Л и
катушку большой индуктивности L (рис.
20.4.3). В цепи первоначально идет ток силой
тока I.
При размыкании ключа сила тока в цепи
уменьшается. В катушке возникает ток
самоиндукции
,
сонаправленный с током I,
поэтому сила тока в цепи уменьшается
до нуля не сразу, а постепенно. При
большой индуктивности катушки L сила
тока самоиндукции может стать больше
чем I,
тогда лампа Л вспыхивает, а затем гаснет.
Выведем формулу изменения силы тока в
цепи. Запишем второй закон Кирхгофа
(20.4.4)
При размыкании
ключа
.
Подставим ЭДС самоиндукции , в формулу (20.4.4)
.
Проведем разделение переменных I и t
.
Проинтегрируем полученное выражение
.
Учтем, что неопределенный интеграл определен с точность до постоянной С
.
Найдем силу тока
.
Постоянную С
определим из начальных условий: при
значение
;
.
Подставляя постоянную, получаем формулу изменения силы тока при размыкании цепи
(20.4.5)
Из выражения
(20.4.5) следует, что при
размыкании цепи cила
тока уменьшается со временем по
экспоненциальному закону:
при
,
.
Чем больше индуктивность катушки
,
тем позже сила тока в цепи уменьшается
до нуля (рис. 20.4.4).
В
ремя
релаксации
– это время, за которое сила тока в цепи
уменьшается в e = 2,71 раз. Подставим данное
условие в формулу (20.4.3) и, преобразуя,
получим
. (20.4.4)
С другой стороны по определению времени релаксации
.
.
(20.4.5)
Сравнивая формулы (20.4.4) и (20.4.5), получаем
;
.
Время релаксации
зависит от параметров цепи: индуктивности
катушки и сопротивления. На практике
сила тока в цепи уменьшается до нуля за
время равное
.
В промышленности
при больших индуктивностях катушек ток
самоиндукции
может стать очень большим, что приведет
к пробою изоляции и аварии. Поэтому силу
тока в цепи уменьшают постепенно,
увеличивая сопротивление с помощью
реостатов.
Оба рассмотренных случая размыкания и замыкания цепи показывают: чем больше индуктивность (L), тем позже ток достигает максимального или минимального значений. Этим свойством индуктивность похожа на массу в механике. Индуктивность является мерой инертности в электромагнитных явлениях.