Лекция 10 потенциал электростатического поля

10.1. Работа сил электростатического поля

В электростатическом поле силы, приложенные к зарядам, совершают работу по их перемещению. Ниже будет показано, что работа, совершаемая при перемещении заряда, не зависит от того, по какому пути заряд перемещается, а зависит только от величины заряда и от его начального и конечного положений. Это свойство электростатического поля позволяет охарактеризовать любую точку поля с помощью особой функции , называемой потенциалом точки поля.

Рассмотрим работу электрических сил в поле точечных зарядов. Пусть положительный точечный заряд перемещается в поле неподвижного точечного заряда q, расположенного в точке O. Определим работу, совершаемую силами поля по перемещению заряда из одной точки 1 в другую точку 2 (рис. 10.1.1).

В каждой точке траектории на заряд , действует кулоновская сила , которую на бесконечно малом перемещении dS можно считать постоянной по величине и направлению. Эта сила совершает элементарную работу которая по определению равна

,

где α - угол между направлением силы и направлением перемещения dS.

Из точки b опустим перпендикуляр на продолжение радиуса-вектора , тогда

,

где dr - изменение расстояния между зарядами q и при перемещении заряда из точки a в точку b.

Следовательно, выражение для элементарной работы запишется так:

. (10.1.1)

Ввиду малости смещения dS, как мы уже отметили, кулоновскую силу взаимодействия зарядов q и можно считать постоянной на всем перемещении dS и, следовательно, равной

.

Подставляя значение величины силы в (10.1.1), получим

. (10.1.2)

Полная работа на всем пути от точки 1 до точки 2 выразится интегралом, взятым в пределах от r₁ до r₂:

. (10.1.3)

Вынося постоянные из под знака интеграла, получим

. (10.1.4)

Из последнего уравнения видно, что работа электростатических сил не зависит от характера пути, по которому перемещается заряд в поле, а зависит только от начального и конечного положений заряда .

Из этого же уравнения следует, что при перемещении заряда в электростатическом поле по замкнутому пути (т.е. когда ) работа равна нулю. Значит, силы электростатического поля являются консервативными, а само поле потенциальным.

Если электростатическое поле создано системой n точечных зарядов а расстояния от каждого из зарядов до данной точки равны r₁₁, r₁₂, r₂₁, r₂₂,…r_1n, r_2n, то работа, совершаемая силами этого поля над зарядом , будет равна алгебраической сумме работ сил, обусловленных каждым из зарядов в отдельности:

.

Согласно (10.1.4), каждая из работ A_i равна:

,

где r_1i и r_2i - соответственно расстояния от заряда g₀ до начального и конечного положений заряда .

Следовательно, суммарная работа будет равна

.