8.2.2. Закон Кулона для заряженных тел

Всякое заряженное тело можно рассматривать как совокупность точечных зарядов, поэтому электростатическая сила, с которой одно заряженное тело действует на другое, равна векторной сумме сил, приложенных ко всем точечным зарядам второго тела со стороны каждого точечного заряда первого тела.

Например, для определения взаимодействия некоторого заряда с заряженным телом, размерами и формой которого пренебречь нельзя, разделим это тело на сколь угодно малые заряды чтобы их можно было бы считать точечными (рис. 8.2.4).

Рис. 8.2.4

По закону Кулона можно определить силу взаимодействия заряда с каждым отдельным точечным зарядом , находящимся на расстоянии от :

.

Полная сила взаимодействия заряда со всеми точечными зарядами , составляющими заряд тела , определится суммой всех отдельных взаимодействий:

(8.2.5)

или, если суммирование заменить интегрированием по всему объему заряженного тела,

(8.2.6)

Для определения взаимодействия двух заряженных тел каждое тело разбивают на точечные заряды и , и определяют силу взаимодействия между парами точечных зарядов

,

а затем векторно суммируют все парные взаимодействия. В интегральной форме это суммирование будет иметь вид

(8.2.7)

8.3. Электрическое поле

8.3.1. Понятие электрического поля

Всякий электрический заряд в пространстве создает электрическое поле.

Электрическое поле - это особая материальная субстанция, заполняющая пространство вокруг зарядов, посредством которой осуществляется взаимодействие электрических зарядов.

Понятие "поля" введено в физику английским ученым Майклом Фарадеем (179І - 1867). Согласно Фарадею, когда к одному заряду приближают другой, он испытывает действие силы, которая обусловлена электрическим полем первого заряда.

Все электрические явления сводятся к изменениям и взаимодействиям электрических полей зарядов.

Электрическое поле, создаваемое неподвижным зарядом, само является неподвижным. Такое поле называется электростатическим.

8.3.2. Напряженность электрического поля

Поле, создаваемое одним или несколькими зарядами, можно исследовать с помощью небольшого положительного пробного заряда, измеряя действующую на него силу.

Под пробным зарядом понимают достаточно малый заряд, собственное поле которого не меняет существенно распределения остальных зарядов, создающих исследуемое поле.

Так как сила, действующая на заряд в электрическом поле, зависит от величины заряда, она не может характеризовать само поле. Поэтому в качестве количественной характеристики силового действия электрического поля на заряженные частицы или тела используется векторная величина, называемая напряженностью электрического поля.

Напряженность электрического поля есть физическая величина, равная отношению силы, действующей на неподвижный единичный положительный заряд , помещенный в данную точку электрического поля, к этому заряду:

(8.3.1)

Так как

то

(8.3.2)

Выражение напряженности электрического поля, созданного точечным зарядом на расстоянии от него:

. (8.3.3)

Графическая зависимость напряженности от расстояния заряда до некоторой точки может быть представлена в виде:

Рис. 8.3.1

За единицу напряженности в СИ принимается напряженность в такой точке поля, в которой на заряд, равный одному кулону, действует сила в один ньютон:

.

Так как , значит направление вектора напряженности совпадает с направлением вектора силы. Следовательно, направлено по линии, соединяющей заряд с данной точкой поля в сторону от заряда, если , и в сторону заряда, если (рис. 8.3.1).

Напряженность поля нескольких зарядов рассчитывается как сумма напряженностей, создаваемых каждым из зарядов. Действительно, воспользовавшись результатами (8.2.5) и (8.3.1), можно записать:

где - величина пробного заряда;

- напряженность электрического поля, создаваемого і-м зарядом.

Рис. 8.3.2

Тогда будем иметь, что

Здесь

(8.3.4)

- напряженность электрического поля п точечных зарядов.

Уравнение (8.3.4) выражает принцип суперпозиции электрических полей (принцип независимости действия электрических полей):

- напряженность электрического поля системы точечных зарядов равна геометрической сумме напряженностей полей каждого из этих зарядов в отдельности.

Другими словами, результирующее поле можно рассматривать как простое наложение (суперпозицию) полей каждого из зарядов системы порознь.

Во многих случаях распределение зарядов можно считать непрерывным. Это означает, что распределенные заряды можно представить в виде набора бесконечно малых элементов , каждый из которых создает на расстоянии электрическое поле напряженностью

_. (8.3.5)

Значение напряженности электрического поля в любой точке можно получить, просуммировав вклады всех бесконечно малых элементов, то есть взяв интеграл

. (8.3.6)

Следует отметить, что - вектор (величина которого определяется формулой (8.3.5)), так что интегрирование может оказаться непростым. Тем не менее, формулы (8.3.5) и (8.3.6) в ряде относительно простых случаев нередко позволяют аналитически рассчитать .

Пример 8.2. По тонкому кольцу радиусом равномерно распределен заряд . Определить напряженность электрического поля в точке на оси кольца на расстоянии от его центра (рис. 8.3.3).

Рис. 8.3.3

Решение. Выделим элемент длины кольца . Напряженность электрического поля , обусловленная элементом , равна Так как все кольцо длиной имеет заряд , а элемент имеет заряд , то при условии равномерного распределения заряда

откуда

Так как кольцо заряжено положительно, то направление вектора определится из условия, что в рассматриваемую точку поместили единичный положительный заряд (см. рис. 8.3.3). Спроектируем вектор на ось и на перпендикулярное оси направление . Суммируя (интегрируя) по всему кольцу, заметим, что каждому элементу кольца соответствует диаметрально противоположный элемент равной длины, такой, что перпендикулярные составляющие напряженности электрического поля этих двух элементов взаимно компенсируются. Это справедливо для всех элементов кольца, так что . Остается просуммировать только составляющие . Тогда полная составляющая напряженности электрического поля будет равна

Так как , а , то получим

.

Отметим, что на больших расстояниях полученное выражение сводится к , то есть к выражению для точечного заряда.

Пример 8.3. Применение принципа суперпозиции для расчета электрического поля диполя.

Электрический диполь – система двух равных по модулю разноименных точечных зарядов ( и ), расстояние между которыми значительно меньше расстояние до рассматриваемых точек поля.

Молекулы воды м – диполь.

Ось диполя – прямая, проходящая через оба заряда. Вектор, направленный по оси диполя от отрицательного заряда к положительному и равный расстоянию между ними, называется плечом диполя .

Вектор

(8.3.7)

совпадающий по направлению с плечом диполя и равный произведению заряда на плечо , называется электрическим моментом диполя (рис. 8.3.4).

Рис. 8.3.4

Согласно принципу суперпозиции напряженность поля диполя в произвольной точке , где и напряженность полей, создаваемых соответственно положительным и отрицательным зарядами (полюсами). Напряженность поля на продолжении оси диполя (рис. 8.3.5).

Рис. 8.3.5

, и направлены по одной прямой в разные стороны, поэтому .

;

.

Согласно определению диполя << , поэтому .

Рассмотрим разность квадратов

;

(8.3.8)

Напряженность поля на перпендикуляре, восстановленном к оси диполя из его середины (рис. 8.3.5,а).

Рис. 8.3.5,а

; ( ),

где r – расстояние от точки A до середины плеча диполя.

Из подобия

.

Откуда

. (8.3.9)

имеет направление, противоположное электрическому моменту диполя.