9.4.4. Поле бесконечной равномерно заряженной плоскости

Пусть заряд равномерно распределен по непроводящей плоскости с поверхностной плотностью . Определим напряженность электрического поля вблизи плоскости (рис. 9.4.11).

В качестве поверхности интегрирования выберем замкнутый цилиндр, ось которого перпендикулярна плоскости и который пересекается плоскостью.

Так как плоскость бесконечная, то можно считать, что вектор напряженности по обе стороны плоскости перпендикулярен ей и постоянен в пределах основания цилиндра площадью S.

П оскольку через боковую поверхность цилиндра поток вектора смещения равен нулю, весь поток приходится на основания.

Учитывая, что заряд равномерно заряженной плоскости равен

,

теорема Остроградского – Гаусса запишется следующим образом:

.

Отсюда

; (9.4.15)

. (9.4.16)

Таким образом, вблизи бесконечной равномерно заряженной плоскости ее электрическое поле однородно. Однако при переходе через эту плоскость из одной области поля в другую вектор напряженности меняет скачком свое направление на противоположное (рис. 9.4.12).

Поле двух параллельных бесконечных равномерно заряженных плоскостей можно найти как суперпозицию полей, создаваемых каждой из них в отдельности. Например, рассмотрим поле, создаваемое двумя плоскостями 1 и 2, заряженными одинаковыми по величине, но противоположными по знаку зарядами (рис. 9.4.13).

Векторы и , напряженности полей плоскости 1 и плоскости 2 равны по модулю:

и всюду направлены параллельно оси OX, перпендикулярной плоскостям. При этом векторы (показаны сплошными стрелками) направлены от положительно заряженной плоскости 1, а векторы (показаны штриховыми стрелками) к отрицательно заряженной плоскости 2. По принципу суперпозиции полей напряженность поля двух плоскостей . Таким образом, слева от плоскости 1 и справа от плоскости 2, т.е. в областях и . В области между плоскостями 1 и 2 и и .

Учитывая, что получаем значения величин смещения и напряженности поля в любой точке пространства между плоскостями, заряженными одинаковыми по величине, но противоположными по знаку зарядами:

; (9.4.17)

. (9.4.18)

Таким образом, поле при рассмотренном варианте размещения заряженных плоскостей оказывается сосредоточенным в пространстве между плоскостями.

Напряженность поля в этом пространстве во всех точках одинаковая по величине и направлению, то есть поле однородно (рис. 9.4.14).

Итак, мы видим, что теорема Остроградского - Гаусса может использоваться для определения напряженности электрического поля, создаваемого заданным распределением зарядов.

Однако на практике ее применение ограничено в основном несколькими частными случаями, когда распределение зарядов имеет высокую степень симметрии и поэтому можно наперед указать направление линий напряженности.