7.3. Основной закон релятивистской динамики материальной точки
Согласно представлениям классической механики, масса тела есть величина постоянная. Однако в конце XIX столетия на опытах с быстродвижущимися электронами было установлено, что масса тела зависит от скорости его движения, а именно возрастает с увеличением скорости по закону
(7.3.1)
где m0 – масса покоя материальной точки, т.е. масса измеренная в той инерциальной системе отсчета, относительно которой материальная точка покоится.
При
,
получаем m =
m0.
Следовательно, величина m0
является массой покоящегося тела или
массой покоя.
С учетом (7.3.1)
импульс (
=
)
имеет вид
.
(7.3.2)
При
нет существенного различия между
релятивистской массой m
и массой покоя m0.
Однако с ростом скорости отличие
становится существенным. Например, в
ускорителе протонов – фазотроне,
работающем в объединенном институте
ядерных исследований в г Дубне протоны
могут приобрести энергию, равную 680 МэВ
(6,8 .
108
эВ).
1 эВ = 1,6 . 10-19 Дж. При этой энергии масса становится в 1,73 раза больше массы покоящегося протона.
Учитывая зависимость массы протона от его скорости, академик В.И. Векслер разработал мощные ускорители, например, ускоритель протонов с энергией 1010 эВ. При такой энергии масса протона становится равной 11,73 mpo(mpo – масса покоя протона).
Основной закон
динамики (второй закон Ньютона):
оказывается также инвариантным по
отношению к преобразованиям Лоренца,
если в нем использовать выражение
для релятивистской массы.
Основной закон релятивистской динамики материальной точки имеет вид
(7.3.3)
или
где
- релятивистский импульс материальной
точки.
Уравнение (7.3.3)
вскрывает динамическую причину
недостижимости с.
По мере приближения скорости тела 
к с
масса тела неограниченно возрастает и
следовательно понадобилась бы бесконечно
большая сила для его дальнейшего
ускорения. Что невозможно.
7.4. Взаимосвязь массы и энергии
Под действием силы F покоящееся тело по прошествии времени t приобретает скорость . Но так как изменение скорости влечет за собой изменение как массы, так и энергии, то следует ожидать, что между массой и энергией должна быть связь.
Для изменения кинетической энергии необходимо совершить работу
Учитывая, что
сила F
равна
а изменение
кинетической энергии
Интегрируя полученное выражение в пределах от 0 до , получим
или
Выражение
соответствующее массе покоя
называется энергией покоя, т.е. энергия
тела в инерциальной системе отсчета,
относительно которой тело покоится.
Если тело, оставаясь
в покое изменяет свое состояние, например,
получая энергию в виде излучения, то из
релятивистского закона сохранения
энергии следует, что полученная телом
энергия
связаны с увеличением его массы покоя
соотношением
Величина
определяет максимальную величину
энергии, которая могла быть извлечена
из данного тела в инерциальной системе
отсчета, относительно которой оно
покоится.
Выражение,
соответствующее массе тела m,
движущегося относительно инерциальной
системы отсчета со скоростью
:
называется полной энергией.
- релятивистское
увеличение массы.
- энергия, равная
сумме энергий движения
и энергии покоя
называется полной энергией тела.
.
Это уравнение выражает фундаментальный закон природы – закон взаимосвязи массы и энергии. Полная энергия системы равна произведению ее полной релятивистской массы на квадрат скорости света в вакууме.
В силу однородности времени в релятивистской механике, как и в классической, выполняется закон сохранения энергии: полная энергия замкнутой системы сохраняется, т.е. не изменяется с течением времени.
Уравнение
имеет универсальный характер, т.к.
применимо ко всем формам энергии
(например, энергия фотона, энергия ядра
и др.). Следовательно, с энергией, какой
бы формы она ни была, связана масса:
и наоборот со всякой массой связано определенное количество энергии:
.
Масса является количественной характеристикой материи. Энергия – количественная характеристика движения. Энергия показывает качественное состояние материи. Закон связывает воедино количественную и качественную характеристики материи и является фундаментальным подтверждением положения: нет материи без движения и наоборот, нет движения без материи.
Так в процессе аннигиляции позитрона и электрона в два фотона
сумма масс покоя
изменяется на
(
- масса покоя электрона).
Связь энергии и импульса в релятивистской механике. Найдем соотношения между полной энергией и релятивистским импульсом.
Кинетическая энергия тела равна
Полная энергия
.
Возведем в квадрат это выражение и освободимся от знаменателя
.
Во втором слагаемом заменим , тогда
,
откуда
.
Извлекая корень
и учитывая, что
,
получаем
.
Для частиц не
обладающие массой покоя (например, для
фотона
),
полная энергия равна
.
Для << c
;
.