6.3. Преобразования лоренца

Преобразования Лоренца – это преобразования четырех координат.

Рассмотрим две инерциальные системы отсчета, одна из которых K - условно неподвижна ( ) и - движущаяся относительно К со скоростью (рис. 6.3.1). Пусть - сонаправлены.

Пусть в начальный момент начала координат совпадают

Рассмотрим некоторую точку А пространства до которой дошла электромагнитная волна вдоль оси x.

А К: – расстояние пройденное волной.

А :

.

Очевидно, что .

Таким образом из-за того, что , следует, что время будет разное в этих системах отсчета.

Найдем преобразование координат. Рассмотрим точку 0’, в системе координата этой точки равна нулю.

0’ : (6.3.1)

K: или (6.3.2)

Уравнения (6.3.1) и (6.3.2) отличаются друг от друга некоторым коэффициентом .

Т.о. (6.3.3)

 - коэффициент с точностью до которого равны данные выражения.

Теперь запишем выражение для абсцисс точки О.

О K:

: (так как точка О лежит в отрицательной части абсцисс) или .

Проведя рассуждения, аналогичные приведенным выше, можно записать:

. (6.3.4)

На основании первого постулата обе инерциальные системы отсчета равноправны, т.е. находясь в одной из них, невозможно установить, какая из них движется. Поэтому коэффициент пропорциональности  в формулах (6.3.3) и (6.3.4) должен быть одинаковым. Найдем выражение для . Для этого используем 2^ой постулат. Пустим световой сигнал в момент совпадения обоих начал координат ( ) в направлении оси ox( ). В произвольный момент времени t( ) сигналы в обеих системах пройдут пути

(K) ( ) ( ).

Перемножим (6.3.3) и (6.3.4), подставив выражения для x и x’.

_{, (6.3.5)}

где .

Найденное значение  подставим в (6.3.3) и (6.3.4).

_(6.3.6)

_{. (6.3.7)}

Для определения формулы преобразования времени при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой запишем формулу (6.3.7) в виде:

.

Подставим x’ из (6.3.6)

.

Освободимся от знаменателя

;

_. (6.3.8)

Аналогично можно получить

_{. (6.3.9)}

Итак, классические преобразования Галилея, описывающие переход от одной инерциальной системы отсчета к другой заменяются преобразованиями Лоренца, удовлетворяющими постулатам Эйнштейна.

; .

Анализируя уравнения, делаем выводы.

1. В формулы преобразований равноправно входят координаты пространства и времени.

Таким образом, преобразования зафиксировали связь пространства и времени. Каждая система отсчета имеет не только свои координаты пространства, но и свое время. Следовательно, время – понятие относительное. Абсолютного времени Ньютона – нет.

2. Формулы преобразований симметричны относительно обеих систем, т.е. отличаются только знаком относительной скорости .

3. При << c преобразование Лоренца переходит в преобразование координат Галилея:

.

4. При > c выражение для координат и времени становится мнимым. Это находится в соответствии с тем, что движение со скоростью большей скорости света в вакууме, невозможно.

5. Нельзя пользоваться инерциальными системами отсчета, движущейся со скоростью равной с, т.к. при знаменатели в формулах обращаются в нуль ( и формулы преобразования теряют смысл).

Вывод. Пространство в теории относительности рассматривается как совокупность размеров материальных тел и расстояний между ними, а время как особого рода длительность процессов в материальных телах. Эти протяженности тел и длительности образуют пространственно – временное многообразие, свойства и закономерности которого определяются из данного опыта.

В соответствии с таким пониманием пространства и времени в теории относительности движение тел рассматривается не как абсолютное движение, а как изменение расстояний между телами во времени, как их перемещения относительно друг друга.

Объектом физической теории является относительное движение тел, поэтому новая теория пространства и времени получило название теории относительности.

Вводя новые представления о пространстве, времени и движении теория относительности определяет неизвестные ранее свойства пространства и времени – изменение размеров тел, временного ритма процессов в них в зависимости от скорости их движения.