4.4. Закон сохранения момента импульса

Основному закону динамики вращательного движения можно придать другой вид.

Исходное уравнение: , где , тогда

так как для твердого тела J = const, относительно данной оси, то можно написать:

или .

Следовательно, мы пришли к соотношению:

(4.3.1)

согласно которому скорость изменения момента импульса со временем равна суммарному моменту сил, действующих на тело.

Рассмотрим систему материальных точек (тел) на которые действуют как внутренние, так и внешние силы. Моментом импульса L системы относительно точки 0 называется геометрическая сумма моментов импульса L_i отдельных материальных точек, входящих в систему:

.

Дифференцирование по времени дает, что .

В соответствии с (4.3.1) для каждой из материальных точек можно написать равенство

где - момент внутренних сил;

- момент внешних сил, действующих на i материальную точку.

Подстановка этих равенств, приводит к соотношению

.

Учитывая, что моменты внутренних сил попарно уравновешивают друг друга, а, следовательно, сумма моментов всех внутренних сил для любой системы материальных точек всегда равна нулю, окончательно получаем

..

Скорость изменения момента импульса системы равна сумме моментов внешних сил.

Если система материальных точек является замкнутой (т.е. внешних сил нет), то момент внешних сил равен нулю и, следовательно, вектор момента импульса L не изменяется со временем и или

Отсюда вытекает закон сохранения момента импульса, который гласит, что момент импульса замкнутой системы материальных точек остается постоянным, т.е. с течением времени не изменяется.

Обычно этот закон демонстрируют с помощью скамьи Жуковского. Если вначале было: J₁ и , а затем J₂ и , то

или .

С уменьшением момента инерции увеличивается угловая скорость , скамья начинает вращаться быстрее (рис. 4.4.1).

Сопоставим основные величины и уравнения, определяющие вращение тела вокруг неподвижной оси и его поступательное движение, подчеркнув их аналогию (табл.).

Таблица

Поступательное движение	Вращательное движение
1	2
Кинематика
Путь S (м) Скорость (м/с) Ускорение a (м/с2)	Угловой путь  (рад) Угловая скорость  (рад/с) Угловое ускорение  (рад/с2)
Равномерное движение
a = 0	 = const  =  t  = 0
Равнопеременное движение
а = const
Неравномерное движение (должен быть задан закон S(t) и (t)
Динамика
Масса тела Равнодействующая внешних сил F Импульс тела Основное уравнение динамики .	Момент инерции тела  момент внешних сил М. Момент импульса тела Основное уравнение динамики.