Эти уравнения движения эквивалентны векторному уравнению
.
(1.2.2)
Модуль радиус-вектора
в данный момент времени определяется
из выражения
.
(1.2.3)
Исключая в уравнении (1.2.1) получим уравнение траектории движения. Рассмотрим движение материальной точки вдоль произвольной траектории (рис. 1.2.3).
Пусть в момент
времени
материальная точка находится в положении
,
характеризуемом радиус-вектором
;
в момент времени
в положении
,
характеризуемом радиус-вектором
.
Т.о., за промежуток времени
материальная точка прошла криволинейный
отрезок
.
Расстояние между
двумя геометрическими точками, отсчитанное
вдоль траектории движущейся материальной
точки называется путем
(путь - это
длина траектории).
Путь
является скалярной функцией времени,
измеряется в метрах (м).
Вектор проведенный
из положения которое занимала движущаяся
материальная точка в начальный момент
времени, к положению, которое она занимает
в конечный момент времени, называется
перемещением.
Перемещение является приращением
радиус-вектора
.
.
(1.2.4)
При прямолинейном
движении вектор перемещения совпадает
с соответствующим участком траектории
движения материальной точки и модуль
перемещения
равен пройденному пути
,
т.е.
=
.
1.3. Скорость
Движения очевидным образом различаются друг от друга тем, что тела могут проходить за одинаковые промежутки времени разные пути, или (говоря другими словами) тем, что одинаковые пути могут быть пройдены за различные промежутки времени. Эти различия в движении мы характеризуем, вводя понятие скорости.
Отношение вектора перемещения ко времени называется вектором средней скорости.
.
(1.3.1)
Направление вектора средней скорости совпадает с направлением вектора перемещения (рис. 1.2.3).
Если в уравнении
(1.3.1) перейти к
при
,
то получим выражение для вектора
мгновенной скорости
(1.3.2)
Мгновенная
скорость
это векторная величина, равная первой
производной перемещения по времени.
Так как секущая
в пределе совпадает с касательной, то
вектор мгновенной скорости
направлен по касательной к траектории
в сторону движения (рис. 1.3.3).
При путь все больше приближается к , поэтому величина мгновенной скорости равна
Т.о. величина (численное значение) мгновенной скорости равна первой производной пути во времени:
.
(1.3.3)
Проекции радиус-вектора на оси координат , поэтому проекции мгновенной скорости на эти оси равны первым производным от соответствующих координат движущейся материальной точки:
Величина полной мгновенной скорости:
.
Вывод: скорость – это физическая векторная величина, определяющая быстроту и направление движения.
Из формулы (1.3.3)
получим выражение для пути, пройденного
движущейся материальной точки за отрезок
времени
,
проинтегрируем данное выражение в
интервале времени от
до
,
получим
формулу, позволяющую вычислить путь,
пройденный телом за время
,
если известна
зависимость скорости от времени
:
.
(1.3.4)
Геометрически
смысл этой формулы ясен из рис. 1.3.1. По
определению интеграла пройденный путь
представляет собой площадь, ограниченную
кривой
в интервале от
до
.
Движение называется
равномерным, если величина скорости не
меняется
В случае равномерного движения уравнение (1.3.4) примет вид
Обычно начальный
момент времени
принимают за 0, тогда
путь
пройденный телом при равномерном
движении.