10.2. Электрический потенциал. Разность потенциалов

Каждое тело, находящееся в потенциальном поле, обладает потенциальной энергией. Работа сил потенциального поля может быть представлена как убыль потенциальной энергии:

. (10.2.1)

Здесь и - соответственно значения потенциальной энергии заряда q₀ в точках 1 и 2 на траектории его перемещения.

Сопоставляя выражения (10.1.4) и (10.2.1), приходим к следующему выражению для потенциальной энергии заряда в поле заряда q в точках 1 и 2:

;

.

Здесь С - произвольная постоянная, величина которой может быть выбрана любой, так как при определении работы как разности потенциальной энергии С исчезает.

Выберем значение произвольной постоянной С таким образом, чтобы при удалении заряда в бесконечность (r = ∞) потенциальная энергия обращалась в нуль, т.е. W_n∞ = 0, а значит, в этом случае С = 0.

При этом условии получается, что потенциальная энергия заряда , находящегося на расстоянии r точечного заряда, создающего электростатическое поле, равна

. (10.2.2)

Из полученного выражения найдем отношение потенциальной энергии заряда к величине этого заряда: оно будет равно

. _(10.2.3)

Отсюда видно, что для данного электростатического поля (q = const и ) в данной точке поля (r = const) отношение является величиной постоянной и не зависит от того, какой заряд будет помещен в данную точку поля

Отношение

(10.2.4)

называется потенциалом поля в данной точке и используется, наряду с напряженностью поля E, для описания электрических полей.

Из (10.2.4) следует, что потенциал численно равен потенциальной энергии, которой обладал бы в данной точке поля единичный положительный заряд.

С учетом значения потенциальной энергии (10.2.2) получим следующее выражение для потенциала точеного заряда:

. (10.2.5)

Сопоставив уравнение (10.1.5) с (10.2.1), получим для потенциальной энергии заряда в поле системы зарядов выражение

,

из которого следует, что

. (10.2.6)

Сопоставление формулы (10.2.6) с выражением (10.2.5) приводит к выводу, что потенциал поля, создаваемого системой зарядов, равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым из зарядов в отдельности. Если распределение зарядов можно считать непрерывным, то

,

где r - расстояние от элемента заряда dq до точки, в которой определяется .

Потенциал - величина скалярная, он является энергетической характеристикой электрического поля.

Пример 10.1. Заряд Q равномерно распределен по тонкому кольцу радиусом R. Определить электрический потенция в точке P на оси кольца на расстоянии X от его центра (рис. 10.2.1).

Решение. Разобьем кольцо на элементарные участки с зарядом , равноудаленные в точки P на расстояние r = (R² + x²)^1\2. Тогда потенциал в точке P будет равен

.

Используя (10.1.4), определим работу перемещения единичного заряда из данной точки поля (r₁ = r) в бесконечно удаленную точку( ). Она будет равна

.

То есть, потенциал данной точки электрического поля численно равен работе, которую совершают силы поля при перемещении единичного положительного заряда из данной точки в бесконечно удаленную точку, потенциал которой равен нулю.

Из выражения (10.2.4) следует, что заряд q, находящийся в точке поля с потенциалом, обладает потенциальной энергией

. (10.2.7)

Следовательно, работа сил поля над зарядом q может быть выражена через разность потенциалов

. (10.2.8)

Таким образом, работа, совершаемая над зарядом силами поля, равна произведению величины заряда на разность потенциалов в начальной и конечной точках.

Следует обратить внимание на то, что реально мы определяем только изменение потенциальной энергии. Соответственно фактически можно измерять лишь разность потенциалов между двумя точками. Таким образом, физический смысл имеет лишь разность потенциалов.

Если заряд q, из точки с потенциалом удаляется в бесконечность, где , то работа сил поля будет равна

. (10.2.9)

Эту формулу можно использовать для установления единицы потенциала. За единицу потенциала в СИ принимают потенциал в такой точке поля, для перемещения в которую из бесконечности единичного положительного заряда в один кулон необходимо совершить работу, равную одному джоулю. Эта единица потенциала называется вольтом (В) в честь Алессандро Вольты (1745 - 1827), известного итальянского ученого, изобретателя источника постоянного электрического тока.

;

.

В атомной и ядерной физике для измерения энергии электронов, атомов, молекул, как мы увидим, джоуль оказывается слишком крупной единицей. Поэтому пользуются более удобной единицей - электрон-вольтом (эВ).

Один электрон-вольт равен энергии, которую приобретает электрон, проходя разность потенциалов в один вольт. Заряд электрона , следовательно,

1эВ=(1,6∙10^-19Кл) (1,0 B)=1,6∙10^-19Дж.

Электрон-вольт - удобная для измерения энергии единица, но она не принадлежит к СИ, поэтому при расчетах электрон-вольты следует переводить в джоули.

Используются также кратные электрон-вольту единицы: