1 КэВ (килоэлектронвольт) - 103 эВ;

1 МэВ (мегаэлектронвольт) - 106 эВ;

1 ГэВ (гигаэлектронвольт) - 10⁹ эВ.

Пример 10.2. Электрон в кинескопе телевизора ускоряется из состояния покоя разностью потенциалов ;

а) чему равно изменение потенциальной энергии электрона?

б) какую скорость приобретает электрон в результате этого ускорения?

Решение. 1. Изменение потенциальной энергии электрона с зарядом равно

.

Разность потенциалов положительна, так как потенциал конечной точки выше потенциала начальной точки; отрицательно заряженный электрон движется от отрицательного заряда(катода) к положительному (аноду).

2. Потенциальная энергия электрона переходит в его кинетическую энергию. По закону сохранения энергии

,

где начальное значение кинетической энергии равно нулю, поскольку электрон покоился.

Подставив величину массы электрона , найдем его скорость

.

10.3. Связь между напряженностью электрического поля и потенциалом

Электрическое поле можно описать либо с помощью векторной величины — напряженности, либо с помощью скалярной величины - потенциала. Очевидно, что между этими величинами должна существовать определенная связь. Выясним ее.

Элементарная работа по перемещению электрического заряда в электрическом поле равна

Учитывая, что , это выражение можно записать так:

. (10.3.1)

Здесь dr – элемент силовой линии (рис. 10.3.1).

Но работа производится за счет изменения потенциальной энергии

. (10.3.2)

Знак «-» в правой части выражения (10.3.2) отображает тот факт, что совершаемая работа равна убыли потенциальной энергии.

Последняя при q = const равна

.

С учетом уравнения (10.3.2) получим

, (10.3.3)

откуда

. (10.3.4)

Здесь - изменение потенциала в направлении вектора или в направлении силовой линии, численно равное изменению потенциала на единице длины силовой линии. Знак "-" показывает, что вектор направлен в сторону убывания потенциала .

Покажем, что наибольшее изменение потенциала на единицу длины происходит в направлении силовой линии.

В самом деле, из (рис. 10.3.1) видно, что проекция вектора на направление равна

поэтому выражение (10.3.3) перепишется так:

.

отсюда

(10.3.5)

Проанализируем полученный результат. Так как , то , а значит . Следовательно, и достигают максимальных значений при , то есть если dl совпадает по направлению с элементом dr силовой линии.

Таким образом, вблизи данной точки электрического поля потенциал изменяется наиболее быстро в направлении силовой линии.

Запишем выражение в проекциях на координатное оси:

Тогда

Выражение, стоящее в скобках, называется градиентом скаляра и обозначается grand или . Следовательно, можно записать

. (10.3.6)

Напряженность в какой-либо точке электрического поля равна градиенту потенциала в этой точке, взятому с обратным знаком. Найдем работу сил поля на конечном участке пути. Для этого проинтегрируем выражение (10.3.1) в пределах от начальной точки пути I до конечной точки пути 2:

.

Вместе с тем, та же работа в соответствии с (10.2.8) может быть представлена в виде

.

Приравняв друг к другу эти два выражения и сократив на q = const, придем к соотношению

(10.3.7)

Интеграл в (10.3.7) можно брать по любой линии, соединяющей точки 1 и 2 для замкнутого пути и, значит,

. (10.3.8)

Здесь интегрирование распространено на весь замкнутый контур.

Формула (10.3.8) является математическим выражением того, что в электростатическом поле работа электрических сил по замкнутому пути равна нулю. Так как поле, в котором работа сил по замкнутому пути равна нулю, является потенциальным, то можно сказать, что выражение (10.3.8) указывает на потенциальный характер электростатического поля.

Пример10.З. Две параллельные пластины заряжены до разности потенциалов . Рассчитать напряженность поля между пластинами, если расстояние между ними равно d = 5 см.

Решение. По формуле (10.3.4) с учетом того, что электрическое поле между пластинами можно считать однородным, а также не учитывая знака, находим

.