12.3. Закон ома в дифференциальном виде
Исходя
из представлений о свободных электронах,
Друде создал классическую теорию
металлов, которая затем была
усовершенствована Лоренцем. Согласно
этой теории электроны проводимости в
металле ведут себя подобно одноатомным
молекулам идеального газа. В промежутках
между соударениями электроны движутся
свободно, проходя некоторый путь 
,
называемый средней длиной свободного
пробега. Электроны в металле при своем
движении сталкиваются в основном с
ионами, образующими кристаллическую
решетку металла. Эти столкновения
приводят к установлению теплового
равновесия между электронным газом и
кристаллической решеткой.
Исходя
из этих представлений, выведем закон
Ома в дифференциальной форме. При наличии
электрического поля на хаотическое
движение носителей тока со скоростью
накладывается
упорядоченное движение со скоростью
u. Таким образом, скорость носителей
будет
.
Так как среднее значение
(но
не
-
численное
значение) равно нулю, то средняя скорость
носителей равна <u>:
.
Пусть
по проводнику сечением
протекает
ток
и средняя арифметическая скорость
упорядоченного движения равна <u>.
За время
через сечение
пролетят
все те электроны, которые находятся на
расстоянии 
от
этого сечения, т.е. все те электроны,
которые находятся в объеме цилиндра
(рис. 12.3.1).
Обозначим число электронов в единице объема (концентрация электронов) через n. Тогда общее число электронов N, находящихся в этом объеме, будет равно
.
Так как заряд
электрона е,
то суммарный заряд, прошедший через
сечение 
,
будет равен
.
Воспользовавшись формулами (12.2.1) и (12.2.3), найдем плотность тока
откуда
.
(12.3.1)
Согласно классической теории считается, что электрон при соударении с ионами кристаллической решетки всю свою энергию передает ионам и, следовательно, скорость в результате соударения становится равной нулю.
Промежуток времени
между двумя
последовательными соударениями электрона
с ионами решетки называется временем
свободного пробега. Под действием
напряженности электрического поля
электрон за время свободного пробега
изменит скорость
упорядоченного движения от нуля до 
которая равна
.
Пройденный путь определяется выражением
.
Тогда средняя скорость упорядоченного движения будет равна
.
Ускорение, с которым движется электрон под действием электрического поля, найдем, воспользовавшись законом Ньютона
.
После подстановки значения ускорения в формулу скоростей получим соответственно
(12.3.2)
.
(12.3.3)
Среднее
время свободного пробега
найдем
из связи средней скорости теплового
движения электрона 
с
длиной свободного пробега
.
Подставляя в (12.3.2) и (12.3.3), получаем соответственно
;
(12.3.4)
.
(12.3.5)
Подставим формулу (12.3.5) в (12.3.1), получим
.
(12.3.6)
Величина 
называется удельной проводимостью
проводника. Обозначим ее
.
Тогда
.
(12.3.7)
Величина, обратная удельной проводимости, называется удельным сопротивлением и обозначается буквой .
.
(12.3.8)
С учетом принятых обозначений выражение (12.3.6) можно записать
.
(12.3.9)
Таким образом, плотность тока прямо пропорциональна напряженности электрического поля в данной точке проводника. Это утверждение есть закон Ома в дифференциальной форме.
Выражение (12.3.9) в основном используется в теории электромагнитного поля для характеристики процессов, протекающих в непосредственной близости к каждой избранной точке поля.