4.3.2. Второе основное уравнение соломотряса

Пусть в точке 1 (рис. 5) произойдет отрыв соломы от клавиши, и в дальнейшем движение хлебной массы можно рассматривать как полет тела, брошенного под углом к горизонту. Для описания траектории этого движения оси координат предпочтительней направить горизонтально и вертикально вверх.

Рис. 5. Схема перемещения соломы за одно подбрасывание

В свободном движении солома движется по параболе, поднимаясь до точки 2 на высоту х₂, после чего она падает вниз, пока снова не встретится с клавишами. Пусть эта встреча произойдет в точке а₃, расположенной на х₃ ниже точки 2. В момент соударения точка 1, подбросившая солому, переместится в точку 3. В общем случае, разумеется, точка падения а₃ не совпадет с точкой 3.

Если обозначить координаты точки 3 как х₃, у₃, а взаимное положение точек а₃ и 3 охарактеризовать величинами х_а, у_а, то вертикальное и горизонтальное перемещения соломы могут быть описаны системой уравнений:

. (6)

Иногда в литературе эти соотношения называют вторым основным уравнением соломотряса в отрезках [1]. При определении величин, входящих в равенство (6), встает вопрос о том, можно ли движение соломы описать без учета сопротивления воздуха. Большинство авторов рассматривают движение хлебной массы без учета сопротивления воздуха, ссылаясь, прежде всего на малую величину скорости соломы [1, 2]. Учет сопротивления воздуха к существенно новым выводам не привел.

Итак, в первом приближении отрезки, входящие в уравнение (6), могут быть определены без учета сопротивления воздуха.

Координата х₁ определится так:

. (7)

Высота подъема при отсутствии сопротивления воздуха равна:

, (8)

где V_x ‑вертикальная составляющая скорости соломы.

В свою очередь,

.

Тогда

,

или.

. (9)

Координата x₃ определится аналогично х₁ но с учетом возможности падения соломы на ту или иную группу клавиш:

. (10)

Высота свободного падения соломы

,

где t₃ ‑ время падения.

Время падения соломы может быть определено по фазе отрыва t₁ и соударения t₃.

В самом деле,

t₃ = (t₃ ‑ t₂)/,

где t₂‑ угол поворота коленчатого вала соломотряса в момент максимального подъема соломы.

Но

t₂ = t₁ +  t₂,

где t₂‑ время подъема соломы.

Поскольку высота подбрасывания уже найдена (9), то определение t₂ не составляет труда:

откуда

или

.

Умножим правую и левую части уравнения на :

.

В таком случае

.

Тогда

.

Высота падения соломы теперь может быть определена так:

;

.

Поскольку

, то ,

тогда

. (11)

Отрезки х_а и у_а связаны соотношением

x_a = y_atg.

Но

y_a = y₁ + у₃ - S_y,

где S_y ‑ дальность полета соломы.

В свою очередь,

y₁ = rcos (t₁ ‑ ); (12)

. (13)

Дальность полета S_y может быть найдена как произведение горизонтальной составляющей скорости V_y на время полета, тогда

;

. (14)

Теперь могут быть определены отрезки у_а и х_а:

; (15)

. (16)

Если величины «отрезков» подставить в общее уравнение, то можно получить:

. (17)

После приведения к общему знаменателю данное уравнение приводится к следующему виду

. (18)

Данное соотношние представляет собой квадратное уравнение относительно разности фаз (t₃ - t₁):

. (19)

Преобразование коэффициента перед (t₃ - t₁) в левой части уравнения с учетом значения и формул синуса и косинуса разности двух углов позволяет его значительно упростить:

.

Учитывая, что по первому основному уравнению соломотряса

,

левую часть уравнения (19) можно тогда привести к виду

.

Правую часть уравнения (19) можно преобразовать следующим образом:

. (20)

С учетом того, что , т.е.последующий результат можно привести к виду

.

Окончательно квадратное уравнение (19) может быть представлено так

.

После подстановки всех отрезков в исходное соотношение (6) формируется квадратное уравнение относительно разности фаз (t₃-t₁) решением, которого является

. (21)

Уравнение (21) является трансцендентным, так как не может быть решено относительно фазы t₃, но приближенное его решение с любой заданной точностью на ЭВМ не составляет труда. В предложенной программе уравнение (21) решается методом дихотомии.

В подкоренном выражении перед последним слагаемым стоят знаки . Верхний знак используется в уравнении (17) в том случае, когда солома падает на ту же клавишу, которая ее подбросила, а нижний - если солома подброшена одной группой клавиш, а падает она на другую группу клавиш.