Задача 5
Результаты измерения роста у мальчиков 10 лет, обучающихся в школах-интернатах (в см): 127,0; 126,5; 128,0; 120,0; 123,0; 121,0; 126,0; 123,5; 122,0; 127,0; 123,0; 122,5; 127,0; 126,0; 128,5; 124,5; 127,0; 125,5; 125,5; 128,0; 125,0; 127,0; 130,0; 123,5 128,0; 126,0; 124,5; 127,0; 123,5; 127,0; 130,0; 126,5; 126,0; 128,0; 124,5; 127,0; 125,0; 124,5; 128,0; 128,5; 125,5; 128,0; 127,0; 126,0; 126,5; 131,0; 127,0; 127,0; 131,0; 126,0; 128,0; 124,5; 125,0; 127,0; 130,5; 125,0; 127,0; 124,5; 126,0; 128,5 125,0; 128,0; 126,5; 130,0; 125,5; 128,5, 126,0; 126,0; 130,5; 124,5; 128,0; 125,5; 125,0; 128,0; 125,5; 126,0; 124,0; 131,0; 125,5; 130,5; 129,5; 127,0; 128,5 126,5; 130,0; 130,0; 127,0; 127,0; 127,0; 127,0; 128,0; 128,0; 129,0; 129,0; 129,0; 134,5; 130,5; 132,0; 132,0; 133.
Задания.
Постройте вариационный ряд и определите его вид (ответ обоснуйте).
Рассчитайте среднюю арифметическую величину, моду, медиану.
Определите показатели колеблемости вариационного ряда (лимит, амплитуду, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации).
Оцените полученные данные и сделайте выводы.
Ответ.
Чтобы построить вариационный ряд, расположим варианты в возрастающем порядке (графа 1, табл. 5.1).
Построенный первоначальный ряд – непрерывный, т.к. варианты имеют промежуточные, дробные значения, и взвешенный, т.к. одна и та же варианта встречается несколько раз (графа 2, табл. 5.1). Так как число наблюдений большое (n=100), для облегчения расчетов из первоначального ряда построим сгруппированный вариационный ряд с соответствующими группам частотами (графы 3, 4, табл. 5.1).
Таблица 5.1
Распределение мальчиков по росту (в см)
Первоначальный ряд |
Сгруппированный ряд |
|||||||
Рост, V |
Число мальчиков, р |
Рост, V |
Число мальчиков, р |
V |
р |
а |
ар |
а2р |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
120,0 121,0 122,0 122,5 123,0 123,5 124,5 125,0 125,5 126,0 126,5 127,0 128,0 128,5 129,0 129,5 130,0 130,5 131,0 132,0 133,0 134,5 |
1 1 1 1 2 3 8 6 7 10 5 18 12 5 3 1 5 4 3 2 1 1 |
120,0 – 121,9 122,0 – 123,9 124,0 – 125,9 126,0 – 127,9 128,0 – 129,9 130,0 – 131,9 132,0 – 133,9 134,0 – 135,9 |
2 7 21 33 21 12 3 1 |
121,0 123,0 125,0 127,0 129,0 131,0 133,0 135,0 |
2 7 21 33 21 12 3 1 |
-6 -4 -2 0 +2 +4 +6 +8 |
-12 -28 -42 0 +42 +48 +18 +8 |
72 112 84 0 84 192 108 64 |
|
∑р=n =100 |
|
∑р=n =100 |
|
n=100 |
|
∑ар =34 |
∑а2р =716 |
Величина интервала (i) для сгруппированного ряда рассчитывалась по формуле: , где r – число предполагаемых групп (см. табл. 2).
≈
2 см
Так как вариационный ряд взвешенный, рассчитываем взвешенную среднюю арифметическую. Учитывая, что число наблюдений большое, используем способ моментов:
см
Величина интервала (i) не введена в формулы определения М и δ, т.к. условное отклонение – а определялось как разность (V – А), где А – условная средняя, наиболее часто встречающаяся варианта.
Lim=134,5 ÷ 120,0: Am=14,5.
см
δ
по Ермолаеву =
см.
СV=
.
Выводы.
Вариационный ряд – непрерывный, взвешенный, сгруппированный.
Мо=Ме=М, что характерно для нормального распределения.
Lim=134,5 ÷ 120,0; Am=14,5.
Средний рост мальчиков 10 лет, обучающихся в школах-интернатах, составляет 127,3 см.
Средняя арифметическая величина является типичной для данного вариационного ряда, т.к. в пределах 116,5 – 138,1 см (М±2δ) находятся все варианты вариационного ряда.
Степень колеблемости ряда слабая (СV<10%).
Приложение 1
Граф логической структуры темы: «Средние величины, их использование в здравоохранении»
ПОНЯТИЕ О ВАРИАЦИОННОМ
РЯДЕ, ЕГО РАЗНОВИДНОСТИ
ВИДЫ ВАРИАЦИОННЫХ
РЯДОВ
По характеру
количественного признака
По частоте
встречаемости вариант
прерывные
взвешенные
простые
непрерывные
МЕТОДИКА
СТАТИСТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ ВАРИАЦИОННЫХ
РЯДОВ
расчет средних
величин
оценка
достоверности
расчет
показателей колеблемости
Ι
ΙΙ
Виды средних
величин
Критерии колеблемости
признака, характеризующие
параметрические
непараметрические
границы совокупности
внутреннюю
структуру совокупности
средняя
арифметическая
средняя
прогрессивная
мода
коэффициент
вариации
среднее
квадратическое отклонение
амплитуда
лимит
медиана
Виды
средней арифметической величины
вычисленная по
способу моментов
простая
взвешенная
методика
расчета параметрических и непараметрических
средних
методика расчета
критериев колеблемости изучаемого
признака
Практическое
применение средних величин и критериев
колеблемости изучаемого признака
Приложение 2
Логическая структура темы: «Средние величины, их использование в здравоохранении»
(фрагмент темы: «Расчет средних величин»)
Приложение 3
Логическая структура темы "Средние величины, их использование в здравоохранении"
(фрагмент темы "Расчет показателей колеблемости вариационного ряда")
Критерии колеблемости
признака характеризующие
Критерии колеблемости изучаемого признака, их
характеристика
границы совокупности
внутреннюю структуру
совокупности
ЛИМИТЫ
(Lim)
пределы
– минимальная и максимальная варианты
изучаемой совокупности
СРЕДНЕ
КВАДРАТИЧЕСКОЕ ОТКЛОНЕНИЕ
(δ)
мера
колеблемости вариационного ряда
(изучаемого признака;
применяется
в случаях, если сравниваются только
однородные (одноименные) совокупности
или средние уровни, сравниваемых
признаков, значительно отличаются друг
от друга;
является
критерием надежности, типичности
средней арифметической величины.
АМПЛИТУДА
(Am) размах
вариации – разность лимитов (крайних
вариант)
КОЭФФИЦИЕНТ ВАРИАЦИИ
(СV)
мера
колеблемости вариационного ряда
(изучаемого признака;
применяется
в случае, если сравниваются неоднородные
совокупности;
является
критерием надежности средней
арифметической величины.
Vmax
÷
Vmin
Vmax
–
Vmin
Методика расчета
критериев колеблемости признака
СРЕДНЕАРИФМЕТИЧЕСКИЙ
СПОСОБ при
n≤30
и p=1: при
n≤30
и
p>1: при
n>30
в знаменателе обеих формул берут n,
а не n–1.
ПО АМПЛИТУДЕ
РЯДА
Приложение 4
Алгоритм статистической обработки медицинских данных с помощью средних величин
Приложение 5
Алгоритм расчета параметров взвешенного вариационного ряда
|
|
Построить взвешенный вариационный ряд, расположив все варианты (V) в возрастающем или убывающем порядке с соответствующими им частотами (р), графа 1 и 2. |
|
|
Перемножить каждую варианту на соответствующую частоту (Vр), найти их сумму (∑Vр), графа 3. |
|
|
Рассчитать среднюю арифметическую взвешенную (М). |
|
|
Найти истинные отклонения d = V – M, графа 4. |
|
|
Возвести каждое истинное отклонение в квадрат d2, графа 5. |
|
|
Найти произведение d2×р, по всем строкам ряда и определить их сумму ∑d2×р, графа 6. |
|
|
Рассчитать среднее квадратическое отклонение (δ). |
|
|
Определить ошибку репрезентативности (m).* |
|
|
Рассчитать критерий достоверности (t).* |
V |
р |
Vp |
d (V–M) |
d2 |
d2p |
Формулы для расчета |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
|
|
|
|
|
* * |
|
∑р=n |
∑Vp |
|
|
∑d2p |
|
Примечание. * ошибка репрезентативности (m) и критерий достоверности (t) будут рассмотрены в следующей теме.
Приложение 6
Алгоритм расчета параметров взвешенного ряда по способу моментов
|
|
Построить взвешенный вариационный ряд, расположив все варианты (V) в возрастающем или убывающем порядке с соответствующими им частотами (р), графа 1 и 2. |
|
|
Выбрать условную среднюю (А) – можно взять любую варианту ряда, но желательно наиболее часто встречающуюся варианту. |
|
|
Определить условное отклонение (а) каждой варианты от условной средней (а = V – А), графа 3. |
|
|
Перемножить значение каждого условного отклонения на соответствующую частоту (aр), найти их сумму (∑aр), графа 4. |
|
|
Найти истинную среднюю арифметическую взвешенную по способу моментов (М), формула 1. |
|
|
Возвести каждое условное отклонение (а) в квадрат (а2), найти произведение (а2р) по всем строкам ряда и определить их сумму ∑a2р, графа 5, 6. |
|
|
Рассчитать среднее квадратическое отклонение (δ) по способу моментов, формула 2. |
|
|
Определить ошибку репрезентативности (m)*, формула 3. |
|
|
Рассчитать критерий достоверности (t)*, формула 4. |
V |
р |
A (V-A) |
ap |
a2 |
a2p |
Формулы для расчета |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
|
|
|
|
|
* (3) * (4) |
|
∑р=n |
∑ар |
|
|
∑a2p |
|
(1)
(2)Примечание. * ошибка репрезентативности (m) и критерий достоверности (t) будут рассмотрены в следующей теме.
Приложение 7
Алгоритм расчета параметров сгруппированного ряда по способу моментов
|
|
Построить сгруппированный вариационный ряд, определив число групповых вариант (не менее 5), величину интервала (i) по специальной таблице, середину, начало и конец групп вариант. Расположить группы вариант в возрастающем или убывающем порядке с соответствующими им частотами (р), графа 1 и 3. |
|
|
Определить центральную варианту V (в непрерывных вариационных рядах как полусумму первых значений соседних групп, в дискретных вариационных рядах как полусумму крайних значений группы), графа 2 |
|
|
Принять за единицу разность между соседними вариантами, введя в формулу для расчета средней арифметической величину интервала (i). |
|
|
Выбрать условную среднюю А – можно взять любую варианту ряда, но желательно наиболее часто встречающуюся варианту. |
|
|
Определить условное отклонение (а) каждой варианты от условной средней (а = V – А), графа 4. |
|
|
Перемножить значение каждого условного отклонения (а) на соответствующую частоту (ар) и определить их сумму ∑aр, графа 5. |
|
|
Найти истинную среднюю арифметическую взвешенную сгруппированного ряда по способу моментов (М), формула 1. |
|
|
Возвести каждое условное отклонение (а) в квадрат (а2), найти произведение (а2р) по всем строкам ряда и определить их сумму ∑a2р, графа 6, 7. |
|
|
Рассчитать среднее квадратическое отклонение (δ) по способу моментов, формула 2. |
|
|
Определить ошибку репрезентативности (m)*, формула 3. |
|
|
Рассчитать критерий достоверности (t)*, формула 4. |
V |
р |
A (V-A) |
ap |
a2 |
a2p |
Формулы для расчета |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
|
|
|
|
|
(1) (2) * (3) * (4) |
|
∑р=n |
∑ар |
|
|
∑a2p |
|
Примечание. * ошибка репрезентативности (m) и критерий достоверности (t) будут рассмотрены в следующей теме.