1.5. Применение аппарата теории нечетких множеств при оценке риска и защищенности для множества угроз

Математическая теория нечетких множеств позволяет описывать нечеткие понятия и знания, оперировать этими знаниями и делать нечеткие выводы [4]. Основанная на этой теории методология построения компьютерных алгоритмов, а именно нечетких систем анализа рисков, является очень удобной, так как максимально учитывает свойство человека нечётко выражать свои оценки.

Анализ риска является задачей без четко определенной меры успеха, поскольку подразумевает в своей основе оптимальные догадки и интуитивные суждения, получая в результате достаточно нечеткие (неконкретные) данные.

В основе теории нечетких множеств лежит числовое моделирование нечеткой ситуации как, например: оценка риска, посредством оценки вероятности для какого-либо элемента являющегося членом множества.

Нечеткие методы в целом являются пока математически менее строгими, чем интервальные или стохастические, однако в прикладном плане они все же предпочтительнее в силу достаточно широкой области применения и ориентации в основном на численное решение.

Нечеткое число, например , вводится через некоторую функцию принадлежности , определенную на всей вещественной оси, и принимающую нулевое значение для чисел, не принадлежащих , единицу для принадлежащих , и число из интервала для остальных – «частично» принадлежащих чисел. Одним из вариантов таких чисел являются нечеткие числа (L-R)-типа, к которым относятся так называемые трапезоидные числа, функция принадлежности которых имеет трапециевидную форму.

При необходимости функцию принадлежности нечеткого числа можно получить из функции распределения вероятности случайной величины, а ее носитель (интервал, в котором функция не равна нулю) можно интерпретировать в смысле интервальной математики. Для этого следует провести следующий анализ:

1) , ;

2) , .

Из уравнений 1) и 2) (для первой и второй производной) находим уравнения касательных к графику распределения плотности вероятностей ущерба в точке максимума, а также в точках перегиба. Касательные к этим точкам образуют вышеупомянутое трапезоидное число (Рисунок 1.8), которое в дальнейшем возможно использовать как характеристику риска, а также для операций по расчёту комплексного риска от нескольких угроз-ущербов.

Рис. 1.8. Нахождение параметров нечеткого трапезоидного числа

Далее можно найти координаты точек пересечения касательных друг с другом и с линией начала координат. Эти координаты и будут являться координатами трапезоидного числа. Запишутся они так: .

Для расчета комплексного риска от нескольких угроз-ущербов необходимо ввести операции над нечеткими трапезоидными числами. Пусть заданы два трапезоидных числа A и B, тогда [4, 5]:

При оценке риска для множества угроз определяющим является вопрос о зависимости или независимости, а также о характере зависимости, если верно первое, случайных величин ущербов от каждой угрозы, способной оказать свое негативное воздействие на работоспособность системы. В этой связи необходимо отметить, что в реальных условиях функционирования системы определить характер зависимости, а также попытаться подчинить его математической формализации представляется очень сложной задачей. Поэтому предлагается нижеследующее.

В предположении о независимости и совместности оцениваемых угроз сумму законов распределения случайных величин ущербов от них можно выразить через алгебраическую сумму нечетких трапезоидных чисел, аппроксимирующих указанные распределения. Это будет выглядеть так (Рисунок 1.9(а)):

. (1.63)

При наличии произвольной зависимости между угрозами нечеткое трапезоидное число , характеризующее закон распределения общего ущерба, может быть получено следующим образом (Рис.1.9(б)):

. (1.64)

Рис.1.9. Иллюстрация расчета комплексного риска от двух угроз-ущербов

Получившееся нечеткое трапезоидное число, в том числе и в случае большего количества угроз, будет характеризовать картину распределения ущерба в целом для исследуемой системы, и может быть использовано в процессе последующих действий по оценке риска, а также принятия решений по управлению им.