1.4. Методология оценки риска и защищенности для непрерывного и дискретного видов распределения вероятности ущерба

Используя (1.2, 1.3) возможно записать выражения для вероятности не превышения ущербом заданного значения u₁, то есть :

- для НСВ, (1.28)

- для ДСВ. (1.29)

Аналогично будет выглядеть выражение для вероятности превышения ущербом заданного значения u₂, то есть :

- для НСВ, (1.30)

- для ДСВ. (1.31)

Значение для вероятности попадания величины ущерба в заданный интервал исходя из (1.2, 1.3) записывается в виде

- для НСВ (1.32)

- для ДСВ. (1.33)

Таким образом, имеем аппарат для расчёта вероятности ущерба в заданных интервалах.

На основе общей формулы математического ожидания ущерба непрерывного типа (1.4) запишем следующее:

, (1.34)

.

Для расчета интегрального риска рассмотрим уже указанные интервалы: , , , и запишем формулы:

, , (1.3)

Запишем выражения для нахождения усредненных рисков:

,

, (1.36)

.

В этом случае защищенность можно вычислить так:

,

, (1.37)

.

Нормирование и дискретизация ущерба

Как уже было сказано ущерб, как любая случайная величина, может быть двух видов: непрерывного и дискретного. Рассмотрим подробнее нормирование непрерывных случайных величин.

В общем случае областью определения непрерывно распределенного ущерба является вся числовая ось, т.е. промежуток . В действительности же ущерб не может быть отрицательным, поэтому часть графика плотности вероятности, находящаяся в отрицательной области, отбрасывается, но при этом нарушается условие нормировки ( ). Поэтому закон распределения ущерба в промежутке будет выглядеть так: .

Действительно , т.е. в данном случае условие нормировки выполняется.

Пусть ущерб распределен по закону и имеет область определения . Область значений в общем случае также выходит за пределы . Если областью определения ущерба является интервал , то необходимость в нормировке отпадает.

Итак, необходимо нормировать ущерб с плотностью вероятности , т.е. вписать его область определения и область значений в интервал . Для этого каким-либо путем (экспертным, по закону , с помощью задания квантили или др.) определяется значение – такое значение ущерба, при котором либо:

1. такой (т.е. ) или больший ущербы не допустимы для системы;

2. вероятность превышения ущербом значения очень мала.

После этого будем считать, что областью определения является интервал . Чтобы из интервала область определения вписалась в , необходимо найти распределение случайной величины , записанной следующим образом: , где – СВ ущерба; – .

Таким образом, на основе законов теории вероятностей, плотность распределения будет иметь следующий вид:

, где . (1.38)

При этом область значений остается прежней и выполняется условие: . Для уменьшения области значений (масштаба по ), необходимо разделить закон распределения на некоторый коэффициент, но при этом нарушится указанное выше условие (Рисунок 1.5).

Рис. 1.5. Иллюстрация процесса нормировки плотности вероятности ущерба

Формулы для расчета математического ожидания и дисперсии нормированного ущерба выглядят так: , .

Далее необходимо продискретизировать функцию плотности вероятности случайной величины ущерба. Выбираем – число дискретов, – номер дискрета ( ) (Рисунок 1.6).

Рис. 1.6. Дискретизация ущерба

Тогда если принять во внимание, что , то можно записать:

. (1.39)

В таком случае начальный момент -того порядка дискретизированного закона распределения случайной величины ущерба рассчитывается по формуле

, (1.40)

а центральный момент -того порядка – по формуле

, (1.41)

где и – начальный и центральный момент -того порядка недискретизированного закона распределения случайной величины ущерба.

То есть и

.

После дискретизации мы работаем с , которое является целой величиной, большей 1. Следовательно

Для дискретных распределений ущерба начальные и центральные моменты -того порядка запишутся так:

, (1.42)

. (1.43)

Итак, мы рассмотрели расчет параметров случайной величины ущерба, перейдем теперь к риску. Исходя из того, что риск есть сочетание вероятности возникновения ущерба и тяжести этого ущерба, целесообразно предложить один из следующих подходов к оценке риска.

1) Пусть – есть плотность вероятности случайной величины ущерба, – значение ущерба.

– математическое ожидание ущерба (неменяющееся значение – const). Интеграл в этой формуле вычисляется по области определения соответствующего закона распределения случайной величины ущерба.

Исходя из определения риска, запишем выражение, характеризующее величину риска:

, (1.44)

где – коэффициент, необходимый для выполнения условия нормировки: (интеграл по всей области определения). Исходя из этого условия, получим, что (области определения риска и ущерба одинаковы). Следовательно, будет справедлива следующая запись:

– для НСВ, (1.45)

– для ДСВ. (1.46)

Тогда можно записать общую формулу для начальных моментов риска:

– для НСВ, (1.47)

где – -тый начальный момент риска;

– -тый начальный момент ущерба;

– для ДСВ, (1.48)

где – значение ущерба с нормированным законом распределения.

Общая формула для расчета центральных моментов риска будет выглядеть так:

– для НСВ, (1.49)

– для ДСВ. (1.50)

Центральные моменты ( ) случайной величины риска выражаются из начальных моментов по формулам (1.9). Сведем формулы для расчета важных начальных и центральных моментов в таблицу (табл. 1.7).

После дискретизации (Рис. 1.7) формула для риска (1.45) примет следующий вид:

. (1.51)

Заметим, что в выражении (1.51) знаменатель есть ничто иное, как математическое ожидание продискретизированного закона распределения ущерба.

Выражение для расчета значения дискретно распределенного риска (1.46) можно записать так:

. (1.52)

Рис. 1.7. Наглядная иллюстрация процесса дискретизации риска

Тогда общие формулы для расчета начальных и центральных моментов запишутся так:

, (1.53)

. (1.54)

В таком случае общее выражение для расчета защищенности будет выглядеть так:

. (1.55)

Т.е. можно записать:

(1.56)

2) Будем рассматривать риск как функцию ущерба, то есть:

, (1.57)

тогда в общем виде найти плотность вероятности риска удастся не всегда, так как для этого необходимо найти функцию обратную , то есть выразить через , а это не всегда возможно.

Однако можно подсчитать начальные (а значит и центральные) моменты риска по формуле:

, (1.58)

где – -тый начальный момент риска;

– плотность вероятности ущерба;

– ущерб.

3) Пусть – плотность вероятности ущерба; – функция распределения ущерба, зависящая от .

Пусть – функция распределения риска. Предположим, что . Тогда плотность распределения риска запишется так:

. (1.59)

Так как известна формула плотности распределения для риска (1.39), можно вычислить первый начальный момент: . Общая формула для подсчета -того начального момента случайной величины риска будет выглядеть так:

. (1.60)

4) Рассмотрим риск как функцию ущерба вида: . Тогда, аналогично случаю (2), не всегда в общем виде удастся выразить плотность вероятности риска, так как не всегда возможно найти функцию обратную к . Однако, как и в случае (2), можно подсчитать начальные (а через них выразить и центральные) моменты риска:

. (1.61)