4.3.2 Необходимые сведения из теории полезности

Впервые условия, необходимые и достаточные для представления предпочтений ЛПР на множестве вероятностных мер с помощью линейной вещественно значи­мой функции, так называемой функции полезности, были получены Нейманом и Моргенштерном в 1947 году. В настоящее время принято разделять эти условия на две группы.

Условия из первой группы касаются множества всех рассматриваемых вероятност­ных мер и в современной литературе просто включаются в определение этого мно­жества, называемого множеством вероятностных смесей.

Вторая группа условий касается описания отношения предпочтения на множестве смесей – именно она известна сейчас как система аксиом Неймана-Моргенштерна, или аксиом класси­ческого представления полезности. Оценивается лотерея : где – выигрыш с вероятностью , – выигрыш с вероятностью .

Чтобы определить величину полезности, отражающую отношение индивида к какому-либо выигрышу , мы его спрашиваем или наблюдаем за его поведени­ем; в этом случае мы устанавливаем, при какой вероятности ему безразлично, что выбрать - стандартный лотерейный билет или X. Оценка полезности сводится к определению полезности на основе выражения, сформулиро­ванного Нейманом и Моргенштерном. Кроме того, Нейман и Моргенштерн посту­лировали пять аксиом, достаточных, чтобы гарантировать существование такой функции полезности, при которой ранжирование лотерей по их ожидаемой полез­ности полностью соответствует действительным предпочтениям индивида.

4.3.3 Применение методов теории полезности

Требование линейности функции полезности в классическом представлении (обеспечиваемое также почти во всех представлениях, разработанных позднее) связано с его применением для решения практических задач. Дело в том, что при выполнении ряда дополнительных предположений условие линейности дает воз­можность выразить функцию полезности на множестве вероятностных смесей в виде математического ожидания ее значений на множестве детерминированные исходов. Это имеет большое практическое значение, поскольку позволяет свести задачу построения функции полезности на множестве смесей к задаче ее построе­ния на множестве исходов.

4.3.4. Классификация функций полезности по склонности к риску

Как правило, методы практического построения функции полезности опираются на сравнение простых лотерей. Рассматриваются также вырожденные лотереи, отождествляемые с детерминированными исходами. В связи с этим все методы делятся на два класса: методы, основанные на сопоставлении простой лотереи и детерминированного исхода, и методы, базирующиеся на сопоставлении двух не­вырожденных простых лотерей. Каждый из этих классов, в свою очередь, распада­ется на несколько групп. Например, методы простой лотереи предполагают сопо­ставление лотереи с детерминированным исходом.

Методы сравнения по предпочтению базируются на определении риска для простой лоте­реи и детерминированного исхода . Существуют два подхода к реализации по­добных методов. Один из них включает предварительное исследование отноше­ния к риску и проверке согласованности получаемых значений функции полезности. При этом каждое сравнение по предпочтению задает линейное огра­ничение на функцию полезности. Таким образом, могут быть получены сколь угодно узкие границы, в которых находится искомая допустимая функция полез­ности. Второй подход основан на схождении к точке безразличия.

Остальные методы данного класса базируются на определении различного рода эквивалентов. Определение эквивалента заключается в нахождении точки безраз­личия между лотереей и детерминированным исходом. Существует несколько подходов к оцениванию точки безразличия:

• прямая оценка – ЛПР указывает точное значение точки безразличия;

• схождение – последовательная корректировка до получения точки безразличия;

• метод границ – установление нижних и верхних границ для точки безразличия.

Кроме экспертного получения функций полезности возможно задание функции в аналитической форме. Например, довольно распространенным видом функции полезности, заданной таким образом является дробно степенная функция полезности:

, где

Данная функция соответствует функции полезности не склонного к риску ЛПР, так как (возрастающая) и <0 (вогнутая). График такой функции, как известно, имеет вид, приведенный на Рис. 2.

Рис.4.2. График дробно-степенной функции полезности