4.3.5. Многомерные функции полезности

В большинстве задач принятия решений, в том числе в задачах управления рисками, исходы оцениваются не одним, а многими критериями. В условиях вероятностной неопределенности сравнение вариантов многокритериальных решений сводится к сопоставлению по предпочтительности соответствующих распределений веро­ятностей на множестве векторных оценок (значений векторного критерия). Разу­меется, и на такие задачи полностью распространяются основные положения тео­рии полезности, касающиеся, в частности, существования функции полезности. Однако при этом функция полезности оказывается многомерной, то есть имею­щей векторный аргумент.

С формальной точки зрения к многокритериальным задачам тоже приложимы методы построения (одномерной) функции полезности, описанные выше (если рассматривать векторную оценку как нечто неделимое). Однако непос­редственное использование таких методов обычно невозможно в силу того, что лицо, принимающее решение, не в состоянии сравнивать лотереи с многомерны­ми (многокритериальными) исходами. Основным путем построения многомерной функции полезности является декомпозиция многомерной структуры предпочте­ний на ряд подструктур меньшей размерности (в частности, одномерных) и, соот­ветственно, представление многомерной функции полезности в виде составной (сложной) функции – «свертки» малоразмерных функций полезности. Структура такой сложной функции зависит от взаимосвязей подструктур структуры пред­почтений. При такого рода декомпозиции построение многомерной функции по­лезности сводится к построению соответствующих маломерных (проще всего, ко­нечно, одномерных) условных функций полезности, а также оцениванию ряда числовых параметров, определяемых конструкцией составной функции свертки.

Декомпозиция многомерной структуры предпочтений ЛПР на множестве веро­ятностных распределений случайной векторной оценки осуществляется за счет использования специфических особенностей этой структуры. Обычно эти особен­ности связаны с какими-либо видами независимости одних (групп) критериев от других. Поскольку условия независимости не всегда выполняются в полном объе­ме, указанный подход стали обобщать за счет «расщепления» шкал (точнее, носи­телей шкал) критериев и соответствующего разложения структуры предпочтений на подструктуры, для каждой из которых справедливы определенные виды неза­висимости. С другой стороны, в последнее время развивается несколько иной под­ход к построению многомерной функции полезности, связанный с изучением од­них (групп) критериев от других и соответствующих им форм составных функций свертки. Однако этот подход еще не доведен до требуемого практикой уровня раз­вития. Существуют и принципиально иные подходы к моделированию многомер­ных полезностей. Они включают целенаправленную перестройку самой исходной математической модели ситуации на основе содержательного анализа конкретной проблемы принятия решений. Примером служит подход, предполагающий рас­щепление исходных критериев, – представление их через некоторые дополнитель­но вводимые, так чтобы преобразованная структура предпочтений обладала неки­ми свойствами независимости.

Рассмотрим основные результаты декомпозиции структуры предпочтений и ме­тоды получения информации о предпочтениях, необходимой для построения со­ответствующих многомерных функций полезности.