2.9. Оценка рисков и защищенности систем для непрерывного экспоненциального распределения вероятностей ущерба

2.9.1. Сущность непрерывного экспоненциального распределения вероятностей в контексте безопасности систем

2.9.1.1. Область применения непрерывного экспоненциального распределения вероятностей ущерба

Экспоненциальное распределение чаще всего описывает распределение времени между независимыми событиями, появляющимися с постоянной интенсивностью. Оно является частным случаем распределения Вейбулла и гамма-распределения.

Пусть рассматривается простейший поток однородных событий, например, атак на сервер. Пусть произвольно назначен момент начала отсчета текущего времени. Тогда случайное время X появления очередного события – атаки - подчиняется экспоненциальному распределению. В частности, этому распределению подчиняется величина промежутка, времени между двумя смежными событиями простейшего потока.

В частном случае, когда интенсивность восстановления постоянна, то есть µ(t) =µ= const, вероятность восстановления за заданное время t подчиняется экспоненциальному закону. Этот частный случай имеет наибольшее практическое значение, поскольку реальный закон распределения времени восстановления большинства электроэнергетических объектов (поток восстановлений) близок к экспоненциальному.

Модель экспоненциального распределения часто используется для априорного анализа, так как позволяет не очень сложными расчетами получить простые соотношения для различных вариантов создаваемой системы. На стадии апостериорного анализа (опытных данных) должна проводиться проверка соответствия экспоненциальной модели результатам испытаний.

2.9.1.2. Параметры и характеристики непрерывного экспоненциального распределения вероятностей, их физический смысл в контексте безопасности систем

Для описания распределения вероятностей ущерба необходимо использовать плотность распределения ущерба , которую, в свою очередь, необходимо исследовать для определения основных параметров распределения (максимума функции, точек перегиба, математического ожидания, дисперсии и т.д.).

Таблица 2.33.

Параметры непрерывного экспоненциального распределения вероятностей ущерба

Параметры	Значения
Плотность вероятности,
Математическое ожидание,
Дисперсия,	Продолжение табл. 2.33
Начальные моменты,
Центральные моменты,
Мода,	0
Медиана
Первая производная,
Вторая производная,
Точки перегиба,	Не существует
Коэффициент асимметрии,	2 Продолжение табл. 2.33
Коэффициент эксцесса,	6
Коэффициент вариации,	1

В связи с тем, что закон имеет областью определения всю положительную полуось, необходимо его нормировать, выбрав максимальное допустимое значение и свести в единичную область.

Таблица 2.34.

Параметры нормированного дискретизированного экспоненциального распределения вероятностей ущербов

Параметры	Значения
Плотность вероятности,
Математическое ожидание,
Дисперсия,
Начальные моменты,	Продолжение табл. 2.34
Центральные моменты,
Коэффициент асимметрии,	2
Коэффициент эксцесса,	6
Коэффициент вариации,	1

Полученные выше аналитические выражения являются основой для расчета параметров ущерба при конкретных ситуациях атаки на компьютерные системы.