2.15.2. Оценка риска и защищенности систем для непрерывного Релея распределения вероятностей ущерба

2.15.2.1. Пространства риска и защищенности систем для непрерывного Релея распределения вероятностей ущерба

Интегральные риски рассматриваются как произведение математического ожидания (на рассматриваемом интервале) на вероятность попадания ущерба в интервал (функция интегрального распределения). Необходимо отметить, что границы интервалов и задаются произвольно, в зависимости от ситуации. В связи с тем, что ущерб рассматривается нормированным в единичном интервале, необходимо корректировать также и риски и границы их интервалов. Таким образом, аналитические выражения для интегральных рисков, интегральной защищенность системы и усредненных рисков на интервалах будут иметь следующий вид (табл.2.59).

Таблица 2.59.

Таблица интегральных рисков для Релея распределения ущерба

Параметры	Значения
	Продолжение табл. 2.59

Рассмотренные понятия и найденные характеристики являются необходимой математической базой при переходе к оценке элементарного риска и его параметров, а также защищенности исследуемой системы.

2.15.2.2. Параметры риска для непрерывного Релея распределения вероятностей ущерба в контексте безопасности систем

Элементарный риск находится на основе дискретизации плотности вероятности. Рассматривать элементарный риск целесообразно на отрезке . Выбирается n дискрет , где с шагом 1 и интервалом дискретизации . Значения за границей исключаются из рассмотрения как маловероятные.

На основе дискретизированного закона распределения ущерба можно определить параметры риска. Они представлены в следующей таблице (табл.2.60).

Таблица 2.60.

Таблица параметров риска для Релея распределения ущерба

Параметры	Значения
Математическое ожидание,
Дисперсия,
Защищенность,
Начальные моменты,
Центральные моменты,
Коэффициент асимметрии,	16.166
Коэффициент эксцесса,	0.1133
Коэффициент вар.,	0.422

Изучение характеристик непрерывных случайных величин имеющих Релея закон распределения позволяет проводить оценку рисков, а также облегчить механизм управления рисками.

3. риски и защищенность систем для ДИСКРЕТНЫХ распределений вероятности ущерба

3.1. Оценка рисков и защищенности систем для гипергеометрического дискретного распределения вероятностей ущерба

3.1.1. Сущность гипергеометрического дискретного распределения вероятностей в контексте безопасности систем

3.1.1.1. Область применения гипергеометрического дискретного распределения вероятностей ущерба

Прежде чем дать определение гипергеометрического распределения, рассмотрим задачу. Пусть в партии из N изделий имеется N₁ стандартных (N₁ < N). Из партии случайно отбирают n изделий (каждое изделие может быть извлечено с одинаковой вероятностью), причем отобранное изделие перед отбором следующего не возвращается в партию (поэтому формула Бернулли здесь неприменима). Обозначим через X случайную величину— число x стандартных изделий среди n отобранных. Очевидно, возможные значения X таковы: 0, 1, 2, ..., min(N₁, n).

Найдем вероятность того, что X=x, т. е. что среди n отобранных изделий ровно x стандартных. Используем для этого классическое определение вероятности.

Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь n изделий из N изделий, т. е. числу сочетаний .

Найдем число исходов, благоприятствующих событию Х=x (среди взятых n изделий ровно x стандартных); x стандартных изделий можно извлечь из N₁ стандартных изделий способами; при этом остальные n-x изделий должны быть нестандартными; взять же n-x нестандартных изделий из N-x нестандартных изделий можно способами. Следовательно, число благоприятствующих исходов равно .

Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию Х=x, к числу всех элементарных исходов[4]:

(3.1)

Гипергеометрический закон распределения вероятностей – универсальный математический аппарат широко применяемый в производстве при решении задач, связанных с контролем качества продукции. В сфере информационной безопасности область применения гипергеометрического закона распределения вероятностей можно рассмотреть на следующем примере.

Предположим, что существует некая компьютерная система, включающая N компонентов, которые теоретически могут быть подвержены атаке. При этом N₁ из них уязвимы для данного вида атаки (уязвимости), другими словами в (N-N₁) компонентах атаки будут нейтрализованы. Гипергеометрический закон распределения вероятностей позволяет оценить вероятность, с которой n атак злоумышленника на N компонентов системы приведёт ровно к x критическим атакам (атакам на уязвимости). При этом каждую новую атаку злоумышленник проводит только на уязвимости ещё не атакованные им ранее.

Гипергеометрическое распределение определяется тремя параметрами: N, N₁, n. Иногда в качестве параметров этого распределения рассматривают N, n и , где – вероятность того, что первая атака будет успешной.