11. 2.1. Вывод уравнений и определение параметров парной регрессии.

11. 1: Многофакторная (множественная) корреляция.

В случаях прямолинейной корреляционной зависимости результирующего фактора у^ф_х1х2 (например, объема реализованной продукции или прибыли) от двух существенно влияющих на него факторов - х^ф₁ (затрат на

На рисунке 8.1.в плоскости распределения по фактическим данным координат (у^ф_(х1х2)i х^ф_1i х^ф_2i ) строится эмпирическая ломаная линия, а по теоретическим данным по координатам (у^т_(х1х2)i х^ф_1i х^ф_2i ) строится линия синтезированной модели регрессии у^т_х1х2 = а₀ + а₁х^ф₁ + а₂х^ф₂

повышение качества продукции) и х^ф₂ (затрат на рекламу) уравнение линейной двухфакторной регрессии будет иметь вид у^ф_х1х2 = а₀ + а₁ х^ф₁ + а₂ х^ф₂ (9) (уравнение плоскости), которое на графике (в программе Mathad) имеет вид плоскости с углами наклона к осям координат (ОХ и ОZ) в зависимости от коэффициентов а₁ и а₂

Для оценки типичности, практической значимости уравнения линейной двухфакторной регрессии (9) и его параметров а₀ , а₁ и а₂ с целью применения их для моделирования и прогнозирования массовых экономических процессов хозяйственной деятельности используются МНК, коэффициенты корреляции – парной (r_ух1, r_ух2 ), частной (r_ух1(х2), r_ух2(1)), множественной (R), коэффициент детерминации (R² ), коэффициенты эластичности (Э _1,2 = а₁,₂ / у_ср). Подставим в формулу МНК (3) уравнение (9) и получим:

F_y=Σ(а₀ + а₁х₁^ф + а₂х₂^ф – у^ф)² →min (10). Дифференцируя (10) в частных производных по а₀, а₁, и а₁ , получим систему уравнений

na₀ + а₁Σх₁ + а₂ Σх₂ = Σу

а₀ Σх₁ + а₁Σх²₁ + а₂ Σх₁х₂= Σух₁ (17)

а₀ Σх2 + а₁ Σ х₁х₂ + а₂ Σх²₂= Σух₂.

Для решения этой системы (определение а₀ , а₁ и а₂) необходимо по данным статистического наблюдения (параллельные ряды фактических данных за 5-7 периодов – месяцев, кварталов, лет: у^ф₁, у^ф₂ ….. у^ф_n ; х^ф ₁₁ , х^ф ₁₂ ……. х^ф _1\n; х^ф ₂₁, х^ф ₂₂ ……. х^ф _2\n) составить аналитическую таблицу, рассчитать значение сумм в (17)

Задача 11.1. Использование метода наименьших квадратов для моделирования многофакторных корреляционно-регрессионных моделей экономических процессов.

В хозяйственной деятельности предприятия важным фактором увеличения объемов производства и реализации продукции, является повышения экономической эффективности предприятия является конкурентоспособность продукции, на уровень которой наиболее существенное влияние оказывает качество продукции и ее реклама и соответствующие затраты предприятия по этим факторам.

Для определения аналитической зависимости объемов продаж (результирующий фактор (Y_x1x2) от совокупных затрат на повышение качества продукции и его рекламу-(соответственно факторы x₁ x₂) используется математическое моделирование исследуемой зависимости с помощью корреляционно-регрессионного анализа и метода наименьших квадратов. При этом важным условием является отсутствие между факторами функциональной связи.

Математически задача формулируется следующим образом. Требуется найти аналитическое выражение, наилучшим образом отражающая связь факторных признаков с результативным, то есть найти функцию y = f (x₁, x₂, …, x_n).

Задача состоит в том, чтобы раскрыть характер и степень влияния аргументов на функцию. Решение этой задачи позволяет раскрыть механизм управления величиной изучаемого показателя, что имеет большое практическое значение, например, для оценки результатов работы предприятия, выявления его объективных возможностей и вскрытия резервов роста эффективности производства.

Наиболее сложной проблемой представляется выбор формы связи. Форма связи между явлениями выражается аналитическим уравнением, на основании которого по соответствующим фактор-аргументам определяются значения результативного показателя функции. Требуется найти такую фукцию, которая лучше других будет выражать реально существующие связи между изучаемым результирующим признаком (показателем) и факторами признаками. В таком случае форму связи можно определить теоретическим моделированием, путем перебора функции разных типов и выбора оптимальной (необходимой). Путем логарифмирования или замены переменных можно свести к линейному виду, уравнение множественной регрессии можно строить в линейной форме: y_x = a₀ + a₁x₁ + a₂x₂ + … + a_nx_n.

Выявление степени влияния соответствующего фактора на анализируемый показатель при фиксированном положении (на среднем уровне) остальных факторов в многофакторных моделях регрессии основано на том, что с изменением каждого фактора на единицу показатель изменяется на соответствующий коэффициент регрессии. Для измерения тесноты связи между двумя из рассматриваемых переменных применяются парные коэффициенты корреляции. Методика расчета таких коэффициентов и их интерпретация аналогичны линейному коэффициенту корреляции в случае однофакторной связи (регрессии).

В реальных условиях все переменные, как правило, взаимосвязаны. Теснота этой связи определяется частными коэффициентами корреляции, которые характеризуют степень влияния одного из аргументов на функцию. В решаемой задаче - при зависимости объема продаж (Y_x1x2) от затрат на качество или рекламу продукции, при «фиксировании другого независимой переменной, закрепленной на среднем уровне». Параметры уравнения двухфакторной модели определяются по методу наименьших квадратов аналитически имеющий вид:

F_y = Σ (y_i^Т – y_i^ф)² min; (4.1)

где y_i^ф – фактические значения исследуемого результирующего показателя (годовой объем продаж);

y_i^Т – теоретическое выражение этого показателя, определяемого по формуле:

Y^T (x₁x₂) = a₀ + a₁x₁^ф + a₂x₂^ф; (4.2)

где x₁^ф и x₂^ф – соответственно, совокупные годовые затраты на повышение качества продукции и на ее рекламу.

По способу наименьших квадратов для расчета параметров уравнения множественной регрессии – линейной двухфакторной регрессии:

Y_x = a₀ + a₁x₁ + a₂x₂, где Y_x – рассчитанные значения результативного признака функции; x₁ и x₂ – факторные признаки; a₀, a₁ и a₂ – параметры уравнения, строится следующая система нормальных уравнений

na₀ + a₁Σx₁ + a₂Σx₂ = Σy, (4.3)

a₀Σx₁ + a₁Σx₁² + a₂Σx₁x₂ = Σyx₁, (4.4)

a₀Σx₂ + a₁Σx₁x₂ + a₂Σx₂² = Σyx₂. (4.5)

.

Рис. 11.1. График уравнения плоскости у_х1х2 = а₀ + а₁х₁ + а₂х₂ (в системе Mathad) при многофакторной корреляции.

Для получения данной системы построим вспомогательную таблицу (таблица 9, цифры условные).

На основании данных таблицы 9 подставим числовое значение в уравнения системы.

5a₀ + 12,9a₁ + 8,3a₂ = 4,87

12,9a₀ + 34,12a₁ + 21,73a₂ = 12,97

8,32a₀ + 21,73a₁ + 14,04a₂ = 8,33

Y^ф = y^ф * 10⁸ = 6,23 * 10⁸ = 623 млн. руб.

X₁^ф = x₁^ф * 10⁷ = 3,33 * 10⁷ = 33 млн. руб.

X₂^ф = x₂^ф * 10⁵ = 1,99 * 10⁵ = 199 тыс. руб.

Таблица 11.1 - Расчетные данные для определения параметров уравнения регрессии

№ п/п	Исходные данные тыс. руб.			Расчётные данные, тыс. руб.
	Yф	X1ф	X2ф	Y2	X12	X22	Y∙X1	Y∙X2	X1∙X2	YТ	YТ-Yф	(YТ- Yф)2
2000	0,66	2,21	1,42	0,44	4,88	2,02	1,46	0,94	3,13	0,53	-0,13	0,017
2001	0,74	2,32	1,53	0,55	5,38	2,34	1,72	1,13	3,55	0,64	-0,05	0,003
2002	0,98	2,43	1,61	0,96	5,91	2,59	2,38	1,58	3,91	0,85	-0,13	0,017
2003	1,24	2,62	1,77	1,54	6,86	3,31	3,25	2,19	4,51	1,11	-0,13	0,017
2004	1,25	3,33	1,99	1,56	11,09	3,96	4,16	2,49	6,63	1,58	-0,33	0,110
∑	4,87	12,9	8,32	5,05	34,12	14,04	12,97	8,33	21,73	4,76	-	0,164

1. Y^ф = y^ф * 10⁸ = 1,25 * 10⁸ = 125 млн. руб. = 20%

Получим,

a₀ = 0,97 – 2,38a₁ – 1,67a₂

0,84a₁ + 0,19a₂ = 0,46

0,26a₁ + 0,15a₂ = 0,26

Из (2) определим a₁ и подставим в (3):

a₁ = 0,55 – a₂ * 0,23

Получим,

3. 0,26 (0,55 – a₂ * 0,23) + a₂ * 0,15 = 0,26

0,14 – a₂ * 0,06 + а₂ * 0,15 = 0,26

а ₂ * 0,09 = 0,12 а₂ = 0,12 / 0,09 = 1,34

2. а₁ * 0,84 + 1,34 * 0,19 = 0,46

а ₁ * 0,84 = 0,21 а₁ = 0,21 / 0,84 = 0,25

а₀ = 0,97 – 0,25 * 2,58 – 1,34 * 1,67 = - 1,92

а₀ = -1,92 а₀ = -7,26

а₁ = 0,25 а₁ = 1,01 – 100% продукции

а₂ = 1,34 а₂ = 5,56

Рассчитаем теоретические значения Y^Т_x1x2, подставляя из таблицы x₁^ф и x₂^ф.

Y^Т₅ = а₀ + а₁ x₁^ф + а₂ x₂^ф = - 1,92 + 0,25 * 3,33 + 1,34 * 1,99 = - 1,99 + 0,83 + +2,67 = 1,58

Y^Т₄ = - 1,92 + 0,25 * 2,62 + 1,34 * 1,77 = 1,11

Y^Т₃ = - 1,92 + 0,25 * 2,43 + 1,34 * 1,61 = 0,85

Y^Т₂ = - 1,92 + 0,25 * 2,32 + 1,34 * 1,53 = 0,69

Y^Т₁ = - 1,92 + 0,25 * 2,21 + 1,34 * 1,42 = 0,53

Занесем Y^Т₁ - Y^Т₅ в таблицу.

Y^Т_x1 = а₀ + а₁ (x₁ + 0,01) + а₂ х₂ = - 1,920 + 0,250 * 3,34 (3,33 + 0,01) + 1,34 * 1,990 = - 1,92 + 0,84 + 2,67 = 1,59 сравним с Y^Т₅ = 1,58.

Δ Y^Т_x1 = Y^Т_х1 - Y^Т₅ = 1,59 – 1,58 = 0,01

Y^Т_х1 = а₀ + а₁ х₁ + а₂ (х₂ + 0,1) = - 1,92 + 0,83 + 2,8 = 1,71

Δ Y^Т_х2 = Y^Т_х1 - Y^Т₅ = 1,71 – 1,58 = 0,13

Δ Y^Т_х1,х2 = const = 0,01 * 10⁸ = 1 000 000 руб.

Δ Y^Т_х2,х1 = const = 0,13 * 10⁸ = 13 000 000 руб.

Для определения типичности полученного уравнения регрессии (математическая модель закономерности и объема продаж Y_х1х2 от затрат на качество и рекламу продукции х₁ и х₂ зависимости тесноты связи между ними и долю их влияния на Y_х1х2), рассчитаем парные (r_yx1, r_yx2, r_x1x2) частные (r_yx1(x2), r_yx2(x1)) коэффициенты корреляции, общий совокупный коэффициент множественной корреляции R и коэффициент множественной … R², а также анализ частных коэффициентов эластичности показывает, что по абсолютному приросту наибольшее влияние на конкурентоспособность продукции оказывает фактор х₁ – ее качество: увеличение затрат на 20 % дает прирост объема продаж на 13 %.

Расчет парных коэффициентов корреляции:

; (4.6)

; (4.7)

Согласно таблице Чаддока связь высокая

Расчет частных коэффициентов корреляции:

Теснота связей между Y_x1x2 и X₁X₂ высокая, следовательно, полученное уравнение регрессии типичное для данной связи и может использоваться для практических целей моделирования и прогнозирования сходных сложных процессов.

Расчет совокупного коэффициента множественной корреляции:

, (4.8)

.

Совокупный коэффициент множественной регрессии R²=0,71 показывает, что общая вариация изменчивости объема продаж (Y_x1x2) на 71% обусловлена двумя факторами (затраты на качество X1 и на рекламу X2) и сумма случайных величин Σ составляет 0,29 или 29%. Поэтому выбранные факторы (X1,X2) существенно влияют на показатели объема продаж (Y_x1x2).

Рассчитаем частные коэффициенты эластичности:

, (4.10)

,

.

При изменении X1 на 1% (затраты на качество продукции) объем продаж может измениться на 0,14%, т.е. здесь влияние очень слабое.

При увеличении X2 на 1% (затраты на рекламу) объем продаж может увеличиться на 1,89%.

Анализ частных коэффициентов показывает, что по абсолютному приросту значительно большее влияние на рост объема продаж (Y_x1x2) оказывает фактор Х2 (затраты на рекламу).

Каждый набор конкретных величин “триады факторов” (Y_x1x2; Х1,Х2) является фактически конкретной моделью технико-экономическая стратегия предприятия (фирмы) по прогнозированию производства и реализации продукции.

Предприятие может стремиться увеличить объем продаж (Y_x1x2) за счет увеличения значений двух факторов одновременно при сохранении постоянства соотношения их долей в “триаде” или за счет увеличения только X1 или X2. Может осуществляться стратегия достижения заданного постоянного уровня объема продаж в течение нескольких периодов (лет) за счет перераспределения затрат между факторами (X1 и X2).

Выводы:

1. Применение корреляционно-регрессионного анализа и метода наименьших квадратов позволяет осуществлять математическое моделирование и прогнозирование экономических процессов с целью повышения технико-экономических показателей предприятия.

2. Корреляционно-регриссионная двух факторная математическая модель зависимости объема продаж от совокупных затрат на повышение качества продукции и на ее рекламу (Y_x1x2=a₀+a_1x1+a_2x2), разработанная в дипломном проекте, показывает что более сильным фактором является X2 (затраты на рекламу).

3. Каждая конкретная “триада” (Y_x1x2; x₁;x₂) является конкретной технико-экономической стратегией предприятия для достижения его целей.

4. Наиболее предпочтительной является стратегия увеличения затрат на рекламу продукции, которые реализуются вне предприятия.

Повышение качества продукции связано с необходимостью больших инвестиций в технологию, на покупку нового оборудования или модернизацию имеющегося, на повышение квалификации работников, при этом срок окупаемости инвестиций составляет около 5 лет.