4.4. Средние величины и показатели в статистике

Средняя величина представляет собой обобщенную характеристику признака всех единиц однородных групп или в целом изучаемой статистической совокупности в конкретных условиях места и времени. В средней находят выражение действия общие условий и общая закономерность изучаемого явления. Она выражает типичный уровень явления, относящий ко всем единицам изучаемой совокупности.

В статистической научной и учебной литературе приводятся разные определения средней величины: «…средняя величина представляет собой обобщающую количественную характеристику признака в статистической совокупности в конкретных условиях места и времени…, показатель, выражающий типичные черты… однотипных явлений по варьирующему признаку; [7,с. 197]. Учитывая, что средняя выражает основную закономерность массового явления по изучаемому признаку, можно определить, что «средняя величина – это обобщающий показатель среднего уровня единиц статистической совокупности, выражающий основную закономерность изучаемого массового явления по изучаемому признаку».

Математические выражения, практически применяемых средних выводятся из общей степенной средней:

где: m – показатель степени средней,

n = число единиц совокупности,

x_i = индивидуальное значение признака единицы.

Для статистических расчетов важно выбрать нужный вид средней:

а) среднегармоническую х _{ср гарм} = n / (∑ 1 / х _i );

б) среднеквадратическую ;

в) среднеарифметическую простую х_{ср ар} = ∑x_i / n;

при n =3, x₁ , x₂, x₃ : х_{ср ар}=x₁ +x₂ +x₃ /n

г) среднеарифметическую взвешенную х_{ср ар взв} = ∑x_{i *} f_i / ∑f_i;

при n =3, x₁ , x₂ x₃ и f₁ f₂ . f_3:

х_{ср ар взв} = (x₁ *f₁ + x₂ * f₂ + x₃ * f₃) / (f₁ + f₂ + f₃₎

д) средне геометрическую ,

при n =3, x_1, x_2, x_3: .

Другие средние.

Кроме степенных средних практически во всех отраслях народного хозяйства и областях деятельности человека, нучных системах знаний и в разных наука применяются и другие специальные и структурные средние величины и показатели:

1.Среднехронологическая, определяющая средний уровень единиц изучаемой совокупнсти на определенную дату иили мометн времени

у _{ср хрон} = у₁ /2 + у₂ + …..+ у _n-1+ у_n / 2) / n – 1

2. Структурные средние Мода (Мо) и Медиана (Ме) (см. стр. 62)

3. Средние показатели технико-экономических величн хозяйственной деятельности на микроуровне (предпритие) и на макроуравне: средняя выработка, средняя заработна плата, средний остаток основных и оборотных фондов (средств), средний удельный уровень ВВП_уд на институциональную единицу (члена общества) и др.

Основные свойства средних и область их применения :

1. х _ср * ∑f_i = ∑x_{i *} f_i ; 2. ∑( x_i - х _ср ) _* f_i = 0

3. Если все единицы совокупности увеличить (умножить или прибавить) или уменьшить (разделить или отнять) на постоянное число А, то средняя (арифметическая) тоже увеличится или уменьшится на ото же число А: А * х_{ср ар} = ∑xi *А / n;

4. Если все частоты f_i увеличить или уменьшитьв А раз, то средняя арифметическая взвешенная не изменится

х _ср = ∑x_{i *} (f_i *А) / * ∑f_i * А)

Область применения разных видов средних величин и показателей.

Среднеарифметические средние простые и взвешенные используются при расчете показателей распределения единиц в статистической совокупности заданных целыми числами – дискретно, или по интервалам (серединные значения интервалов).

Среднегармонические средние используются при расчете средней величины себестоимости и цены продукции, когда известны общие объемы и величины себестоимости и цены на отдельные виды продукции.

Среднегеометрические средние используются для расчета средних темпов роста, прироста и наращивания в рядах динамики.

Среднеквадратические средние используются. Когда единицы статистической совокупности заданы в квадрате – дисперсии и др.

Среднехронологические средние используются при расчете среднего уровня рядов динамики (моментные ряды распределения), когда уровни ряда заданы на определенную дату или момент времени.

ЗАДАЧА 4.4. Расчет показателей средних величин

Дано: Исходные данные для расчета средних : n =2, х ₁ = 5, х ₂ = 8.

Необходимо: На основе общей степенной средней (привести формулу) рассчитать по соответствующим формулам средние показатели:

Среднеарифметическую простую, среднегармоническую, среднегеометрическую, среднеквадратическую.

Представить соотношение средних по принципу можарантности.

Определить процент расхождения наименьшей и наибольшей средней. Сделать выводы.

Для решения задачи использовать заданный индивидуальный вариантный коэффициент (расчетные значения округлить до целого): N _сп = 5;

К _В = N _сп /10 + 2 = 5 / 10 + 2 = 2,5, принимаем К _В = 3 ;

х^в ₁ = x ₁ + К _В = 5 + 3 = 8; х^в ₂ = x ₂ + К _В = 8 + 3 =11;

по варианту: x ₁ = 8, x ₂ = 11.

Решение:

1. Общая степенная средняя: ,

2. Средняя гармоническая: m = -1, = 2 / (1/ х₁ + 1 / x ₂ ) =

= 2 / (1/8 + 1 / 11) = 176 / 19 =9,26; х _{ср гарм} = 9,26;

3. Средняя геометрическая: m = 0, = = = = 9,38 (х _{ср геом} = 9,38);

4. Средняя арифметическая простая: m = 1, = (x ₁ + x ₂ ) / 2 = (8 + 11) / 2 = 19 / 2 = 9,5; (х _{ср ар пр} = 9,5);

5. Средняя квадратическая: m = 2, = =

= = = = = 9,62;

х _{ср кв} = 9,62.

Принцип можарантности:

х _{ср гарм} = 9,26 < х _{ср геом} = 9,38 < х _{ср ар пр} = 9,5 < х _{ср кв} = 9,62.

Ответ: х _{ср гарм} = 9,26; х _{ср геом} = 9,38; х _{ср ар пр} = 9,5; х _{ср кв} = 9,62.

Выводы:

1. Различие между наименьшей (х _{ср гарм} ) и наибольшей (х _{ср кв} ) средней составляет х _{ср кв} - х _{ср гарм} = 9,62 - 9,26 = 0,36 или 3,88% (0,36 / 9,26 =0,0388).

2. При расчете средних величин важное значение имеет выбор вида средней.

ЗАДАЧА 4.5. Определение средней цены продукции

Дано: Предприятие в отчетном периоде реализовало три вида продукции. Данные приведены в таблице.

Определить: Среднюю цену из трех видов продукции (товара) предприятия, используя разные виды средней. (К_в = N_сп ; q_{i вар} = q_i + К_в )

Таблица 4.1. Объем реализации продукции (р_i – руб., q_i - тыс. шт.)

№ п/п	Вид продукции	Кол-во, fi (qi)	Цена рi за единицу, рi	Объем реализации Qреал (рi qi)
1	2	3	4	5
1	А	20	30	600
2	Б	50	20	1000
3	В	10	35	350
-	Итого:	80	-	1950

Решение:

1) Средняя арифметическая:

х _ср.ар. = руб.

2) Средняя арифметическая взвешенная

х _{ср.ар.взв} = руб

3) Средняя гармоническая (при n= ∑ Q_i): (превращенная средняя арифметическая)

х _{ср.гарм} = руб

Верной является среднегармоническая цена, которая в данном случае совпадает с средневзвешенной: х _{ср.ар.взв} = 24,37 руб

ЗАДАЧА 4.6. Расчет средней скорости движения автомобиля

Дано: Два автомобиля (n=2) проехали одно и то же расстояние со скоростью: V₁= 60 км /ч, V₂ = 80 км / ч.

Определить: Среднюю скорость двух автомобилей.

Решение:

1.)Средняя гармоническая:

V_сргарм= км / ч.

2)Средняя арифметическая:

V_{срарифм}= км /ч.

Верным значением будет V_сргарм = 68,6 км/ч.

Лекция 5. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ И ГРАФИКИ С.38

5.1. Статистические таблицы

5.2. Статистические графики

5.3. Теория и практика построения статистических схем

5.1. Статистические таблицы

Статистическая таблица – это структурированная совокупность пересекающихся горизонтальных и вертикальных линий, образующих строки и графы таблицы, содержащие количественную (цифровую) информацию о результатах сводки и группировки данных статистического наблюдения об изучаемом массовом явлении или процессе. Статистические таблицы – это способ компактного упорядочения, хранения и использования статистической информации об изучаемых массовых явлениях и процессах. Элементы таблиц: 1) номер таблицы, 2) название таблицы, 3) макет таблицы (незаполненная таблица), 4) подлежащие таблицы (содержание строк, характеризующих перечень, состав единиц совокупности), 5) сказуемое таблицы (содержание граф – статистические показатели, характеризующие свойства-признаки единиц совокупности в подлежащем), 6) итоговые строки и графы (результирующие величины по строкам и графам),7) экспликация таблицы - пояснения, примечания, справки (Б*- новая продукция).

Не заполненная таблица называется формой или макетом таблицы. Часто отдельные строки и графы сложных и аналитических таблиц суммируются или перемножаются, поэтому рекомендуется в таблицах, содержащих более 3-5 строк и граф, строки и графы нумеровать.

По назначению статистические таблицы – это способ рационального упорядоченного компактного изложения и отображения данных об изучаемых социально-экономических явлениях и процессах при помощи цифр, расположенных в определенном порядке в стоках и графах.

(Таблица № 5.1. общий заголовок таблицы)

П О Д Л Е Ж А Щ Е Е Содержание строк	С К А З У Е М О Е Наименование граф (верхние заголовки)
А	1	2	3	4	5	6
Наименование строк (боковые заголовки)
Итоговая строка						Итоговая графа

* Примечания к таблице (экспликкция): Ссылки, справки, пояснения и др.

Рис. 6.1. Остов (макет, основа, форма, формуляр) статистической таблицы

Таблица 5.2. Объём производства продукции (млн. руб.)

( С К А З У Е М О Е )

№ п/п	Вид изделия (П О Д Л Е Ж А Щ Е Е)	Единицы измерения	Количество единиц	Цена руб	Сумма руб
1	2	3	4	5	6
1	Изд. А x	шт.	10	2	20
2	Изд. Б *	-//-	5	3	15
3	Изд. В	-//-	6	1	24
4	Изд. Е	-//-	2	2	30
-	Итого:	-	-	-	89

Примечание: Табл. 5.2. является «простой перечневой видовой таблицей» по разработке подлежащего.

Классификация видов статистических таблиц:

1) простые – монографические; перечневые - видовые, хронологические, территориальные, видовые; 2) групповые – подлежащие и сказуемое делятся на подгруппы;3) комбинационные – содержат комбинации групп и подгрупп единиц совокупностей в подлежащем и/или подгрупп в сказуемом; 4) аналитические - отдельные показатели строк или граф являются суммой или произведением предыдущих; аналитические таблицы позволяют выявлять взаимосвязи между показателями, характеризующими изучаемую совокупность.

Подлежащее статистической таблицы содержит характеристики состава единиц отдельной совокупности или ряда совокупностей массовых явлений или процессов. Сказуемое статистической таблицы – это система взаимосвязанных показателей, характеризующих определенные свойства единиц отдельной совокупности или нескольких совокупностей массовых явлений. Статистическими называются таблицы, которые содержат сводную числовую характеристику изучаемой совокупности массового явления по одному или нескольким существенным признакам, взаимосвязанным задачами и логикой осуществляемого экономического анализа.

Простыми перечневыми называются таблицы, подлежащее кото­рых содержит перечень единиц изучаемого объекта по различному признаку - видовому, территориальному, временному и т.д.

Примером видовой таблицы может служить табл. 4.2, в подлежа­щем которой содержится перечень основных демографических пока­зателей.

Рис. 5.2. Классификация статистических таблиц по характеру подлежащего

Примером перечневой таблицы по территориальному признаку яв­ляется табл. 4.3, которая дает характеристику распределения убыточ­ных предприятий и организаций административных округов г. Москвы по различной отраслевой принадлежности. По каждому администра­тивному округу можно получить информацию о количестве убыточ­ных предприятий и организаций и их отраслевой принадлежности.

Групповая таблица по сказуемому:

Таблица 5.3. - Состав рабочих в разных отраслях промышленности по полу и образованию

Отрасли промыш-ленности	Число заводов	Числ. рабочих всего	В том числе		Из общего числа рабочих, имеющих образование
			мужчин	женщин	низшее	среднее		высшее
А	1	2	3	4	5		6	7
1.Маш-е

Перечневая таблица по временному признаку показана на приме­ре динамики среднемесячной начисленной заработной платы работ­ников предприятий и организаций в долл. США исходя из среднего­дового официального курса доллара США (табл. 4.4).

Простые таблицы содержат лишь описательные сведения. Они не дают возможность выявить социально-экономические типы изу­чаемых явлений, их структуру, а также взаимосвязи и взаимозависи­мости между характеризующими их признаками.

ЗАДАЧА 5.1. Построение перечневых видовых таблиц.

Исходные данные отражены в видовой таблице 3.2.

Таблица 5.4. - Расчёт затрат на материалы в себестоимости продукции

|№ п/п	Вид материала	Ед. Изм.	Цена ед., тыс.руб.	Кол- во	Сумма, тыс.руб.
1	2	3	4		5
1	Основные материалы на изделия	т	22	0.15	3.3
2	Стоимость отходов	т	6	0.03	0.18
3	Итого на основные материалы	т	-	-	3.12
4	Затраты на вспомогательные материалы	т	10	0.01	0.10
5	Потери от брака ( % к основным материалам)	%	-	4	0.13
-	Всего:	-	-	-	3,35

В анализе данных наряду со статистическими таблицами показателейимеющих количественну величину. применяются и другие виды таблиц, например таблицы сопряженности (см. с.90, таблицы 8.1, 8.2) таблицы-матрицы.

ЗАДАЧА 5.2. Построение статистических групповых таблиц по подлежащемцу.

Дано: Предприятие в текущем году произвело и реализовало два вида продукции (А и Б) 1-го и 2-го сорта (А₁ и А₂, Б₁ и Б₂) всего в количестве (физический объем q - тыс. шт. ) q _А(1,2) =20 тыс. шт. и q _Б(1,2) =30 тыс.шт. При этом продукция А₁ составляет 80% данного вида и продукция Б*₁ 90% соответствующего вида. Продукция реализована по ценам (р – руб.) соответственно - р_А1 = 40 руб., р_А2 = 48 руб., р_Б1 = 32 руб., р_Б2 = 37 руб.

Продукция Б*₁ предназначена на экспорт.

Необходимо:

1. Построить групповую таблицу по подлежащему. Отразить экспликацию таблицы (Б*₁ ).

2. Определить (∑ р _i q _i = ∑ Q_рАБ i , руб.; i =1, n) общую долю реализованной продукции по видам (А_1,2 и Б_1,2 ) и продукции 1-го и 2-го сорта (А₁Б₁ и А₂ Б₂ ), долю экспорта (Б*₁ ).

3) Определить среднюю цену продукции по среднеарифметической простой и взвешенной и среднегарманической - сделать вывод о правильности выбора средней цены продукции предприятия

Для решения задачи использовать заданный индивидуальный вариантный коэффициент: К _В = N _{сп гр} + х =5 + 5 =10; q^в _A(1,2) = q _A(1,2) + К _В ;

q^в _Б(1,2) = q _Б(1,2) + К _В; q^в _А, q^в _Б округлить до целого (при N _{сп гр} = 5).

Решение (см ЗАДАЧИ) :

1. Определение исходных данных по варианту: при N _{сп гр} = 5:

q^в _A(1,2) = q _A(1,2) + К _В = 20 + 10 = 30;

q^в _Б(1,2) = q _Б(1,2) + К _В = 30 + 10 = 40;

Исходные данные по варианту: q _A(1,2) = 25, q _Б(1,2) = 35.

q _A1, = q _A * 0,8 = 30 * 0,8 = 24 принимаем q _A1, = 24, q _A2 = 6;_,

q _Б1, = q _Б * 0,9= 40 * 0,9 = 36 принимаем q _Б1, = 36, q _Б2 = 4;_,

р_А1 = 40, р_А2 = 48, р_Б1 = 32, р_Б2 = 37.

3.Определение доли (относительных показателей – коэффициентов - структуры К_стр) и процента в общем объеме выпуска реализованной продукции (руб.) предприятия (РП _{АБ 1,2} = ∑Q_{рАБ 1,2 i} = ∑ р_{АБ i} * q _{AБ i} ), ее составляющих:

а) доля продукции двух видов (А_1,2 = 1244 и Б_1,2=1300) Q_рА1,2 и Q_{рБ 1,2}

2. Построение групповой таблицы по подлежащему.

Таблица 5.4.Структура продукции (р – руб., q – тыс.шт.)

№ п/п	Вид продукции		рАБ	q AБ	Сумма, QрАБ (4 * 5 граф.)
1	2	3	4	5	6
1	А	А1	40	24	960
2		А2	48	6	284
4	Итого (1 + 2стр.):	А1 ,2	-	30	1244
5	Б	Б1*	32	36	1152
6		Б2	37	4	148
7	Итого (3 +4 стр.):	Б1 ,2	-	40	1300
-	Всего (4 + 7 стр.):	А1,2 + Б1,2	-	70	2544

Б₁* - экспорт

Б₁* - экспорт доля продукции А_1,2

К_стрА = Q_рА1,2 / Q_рАБ = 1244 / 2544 = 0,489 или 48,9%;

доля продукции Б_1,2 К_стрБ = Q_рБ1,2 / Q_рАБ =1300 / 2544 = 0, 511 или 51,1%;

б) доля продукции 1-го и 2-го сорт (А₁Б₁ = 960 + 1152 = 2112) и (А₂Б₂ = 284 + 148 = 432) Q_{рА1Б 1} и Q_{рА2Б 2}:

доля 1-го сорт А₁Б₁: К_стрА1Б1 = Q_{рА1 Б1} / Q_рАБ = 2112 / 2544 = 0,83 или 83%;

доля 2-го сорт А₂Б₂: К_{стр А2Б 2} = Q_{рА2Б 2} / Q_рАБ = 432 / 2544 = 0,17 или 17%

в) доля продукции на экспорт (Б₁* = 1152) Q_рБ*1 :

К_{стр А2Б 2} = Q_{рБ *1} / Q_рАБ =1152 / 2544 = 0,453 или 45,3%.

4. Расчет средней цены продукции (Р_ср):

а) Средняя гармоническая: m = -1, ; где: n = ∑Q_{рАБ 1,2 i} общий объем признака статистической совокупности (объем реализованной продукции, руб.), х _i = р _i - цена i -ой реализованной продукции;

∑q _{AБ i} – физический объем или общее количество всех i-х видов реализованной продукции (в данной задаче ∑ q _{AБ i} = 70; (∑ р_{АБ i} q _{AБ i} = ∑Q_{рАБ 1,2 i} = 2544);

q _{AБ i} = р_{АБ i} * q _{AБ i} ) / р_{АБ i} , ∑q _{AБ i} =∑ [(р_{АБ i} * q _{AБ i} ) / р_{АБ i} ] или

∑q _{AБ i} = ∑Q_{рАБ 1,2 i} / р_{АБ i} ;

Р_{ср гарм} = ∑Q_{рАБ 1,2 i} / ∑ (1 / р _i ) *Q_{рАБ 1,2 i} = ∑Q_{рАБ 1,2 i} / ∑ q _{AБ i} = 2544 / 70 = 36,34 руб.

б) Средняя арифметическая простая:: m = 1, = (x ₁ + x ₂ )/2,

где х _i = р _i - цена i -ой продукции; n = 4

Р_{ср ариф пр} = ∑ р_{АБ i} / n = ∑ р_{АБ i} / ∑ q _{AБ i} = (р_А1 + р_А2 + р _{Б 1} + р_{Б 2} ) / ∑ q _{AБ i} =

= (40 + 48 + 32 + 37) / 70 = 157 / 4 = 39,25 руб.

в) Средняя арифметическая взвешенная , где: ∑f_i = n, а для данной задачи: f_i = q _{AБ i} , ∑f_i = ∑ q _{AБ i} , ∑ х _i f_i = ∑ р_{АБ i} q _{AБ i} .

Р_{ср ариф взв} = ∑ р_{АБ i} q _{AБ i} / ∑ q _{AБ i} = 2544 / 70 = 36,34 руб.

Вывод: 1. Верной является средняя гармоническая Р_{ср гарм} =36,34 руб., с которой совпадает средняя арифметическая взвешенная (Р_{ср ариф взв} =36,34 руб.).

2. Различие Р_{ср гарм} =36,34 и Р_{ср ариф пр} = 39,25 составляет (36,34 / 39,25 = 0,92 или 92%; 100 – 92= 8) 8%, что является существенным.

Ответ: К_стрА = 0,489 или 48,9%; К_стрБ = 0, 511 или 51,1%;

К_стрА1Б1 = 0,83 или 83%; К_{стр А2Б 2} = 0,17 или 17%

К_{стр А2Б 2} = 0,453 или 45,3% Р_{ср гарм} =36,34 руб.