6.6. Виды дисперсий в группировочных совокупностях.

ПРАВИЛО СЛОЖЕНИЯ ДИСПЕРСИЙ,

При изучении вариации в совокупностях в целом и опираясь на среднюю мы не можем определить влияние отдельных факторов при изучении вариации – это можно сделать с помощью дисперсионного анализа аналитической группировки. Можно определить 3 показателя - общую, межгрупповую и среднюю из групповых дисперсий.

Общая дисперсия измеряет вариацию признака во всей сово­купности под влиянием всех факторов, обусловивших эту вариацию:

(7.37)

Межгрупповая дисперсия ( ) характеризует систематическую вариацию, т.е. различия в величине изучаемого признака, возникаю­щие под влиянием признака-фактора, положенного в основание груп­пировки. Она рассчитывается по формуле

(7.38)

где к - число групп;

- число единиц в j-й группе;

- частная средняя по j-й группе;

- общая средняя по совокупности единиц.

Внутригрупповая дисперсия ( ) отражает случайную вариацию, т.е. часть вариации, происходящую под влиянием неучтенных факторов и не зависящую от признака-фактора, положенного в основание группировки. Она исчисляется следующим образом:

(7.39)

По совокупности в целом вариация значений признака под влиянием прочих факторов характеризуется средней из внутригрупповых дисперсий ( ) (Шм. с.243):

(7.40)

Между общей дисперсией , средней из внутригрупповых дис­персий и межгрупповой дисперсией существует соотношение, определяемое правилом сложения дисперсий. Согласно этому правилу общая дисперсия равна сумме средней из внутригрупповых и межгрупповой дисперсий:

(7.41)

Согласно этому правилу, общая дисперсия, возникающая под дей­ствием всех факторов, равна сумме дисперсий, появляющихся под влиянием всех прочих факторов, и дисперсии, возникающей за счет группировочного признака.

Зная любые два вида дисперсий, можно определить или прове­рить правильность расчета третьего вида.

Правило сложения дисперсий позволяет выявить зависимость результата от определяющих факторов с помощью соотношения меж­групповой дисперсии и общей дисперсии. Это соотношение называ­ется эмпирическим коэффициентом детерминации ( ):

(7.42)

Он показывает, какая доля в общей дисперсии приходится на дис­персию, обусловленную вариацией признака, положенного в основу группировки.

Корень квадратный из эмпирического коэффициента детермина­ции носит название эмпирического корреляционного отношения ( ) (Шм. с. 244):

(7.43)

Это отношение характеризует влияние признака, положенного в ос­нование группировки, на вариацию результативного признака. Эмпи­рическое корреляционное отношение изменяется в пределах от 0 до 1. Если = 0, то группировочный признак не оказывает влияния на ре­зультативный. Если = 1, то результативный признак изменяется толь­ко в зависимости от признака, положенного в основание группировки, а влияние прочих факторных признаков равно нулю. Промежуточные значения оцениваются в зависимости от их близости к предельным зна­чениям.

ЗАДАЧА : Рассмотрим правило сложения дисперсий. Имеются дан­ные об объеме выполненных работ проектно-изыскательными орга­низациями на предприятиях разных форм собственности (табл. 7.10).

Таблица 7.10

Организация	Объем выполненных работ на предприятиях, млн руб.
	государственных	коммерческих
1	420	3 980
2	690	6 120
3	790	6 030
4	950	7 790
5	580	5 050
Итого	3 430	28 970

Алгоритм решения следующий:

1. Определим средний объем выполненных работ на предприяти­ях двух форм собственности:

2. Определим средние объемы выполненных работ по предприя­тиям каждой формы собственности (Шм. с. 245):

3. Рассчитаем внутригрупповые и общую дисперсии:

Рассчитаем среднюю из внутригрупповых и межгрупповую дис­персии по данным, представленным в табл. 7.11. (Шм. с. 246)

Средняя из внутригрупповых дисперсий:

межгрупповая дисперсия:

5. Найдем общую дисперсию по правилу сложения дисперсий:

Сопоставив межгрупповую дисперсию с общей дисперсией, рас­считаем коэффициент детерминации:

(Шмойлова с. 247)

Коэффициент детерминации показывает, что дисперсия объема выполненных работ зависит от формы собственности предприятия на 88,9%. Остальные 11,1% определяются множеством других неуч­тенных факторов.

Извлекая квадратный корень из коэффициента детерминации, определим эмпирическое корреляционное отношение:

Полученное значение эмпирического корреляционного отноше­ния позволяет утверждать, что существует тесная связь между фор­мой собственности предприятия и объемом выполненных проектно-изыскательных работ.

Для проверки существенности связи между группировочным при­знаком и вариацией исследуемого признака часто используется дис­персионное отношение F (критерий Фишера).

(7.44)

где - число степеней свободы для сравниваемых дисперсий, при этом

т - число групп,

N - число наблюдений.

Расчетное значения критерия Фишера ( ) сравнивается с кри­тическим ( ), которое определяется по таблице приложения 4 в за­висимости от числа степеней свободы и уровня значимости. Если , наличие связи доказано, так как проверяется нулевая гипо­теза об отсутствии взаимосвязи признаков, т.е. об отсутствии влия­ния группировочного признака на исследуемый признак. В нашем примере при уровне значимости 0,05, т.е. это го­ворит о наличии связи между объемом выполненных проектно-изыскательных работ и формой собственности предприятий. (Шм. с. 248)

Лекция 7. ФОРМА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН. ВЫБОРОЧНЫЙ МЕТОД С.65

- Нормальный закон распределения. Критерии согласия

- Изучение формы распределения с.70

- Расчет показателей выборочного наблюдения

- Критерии согласия