6.2. Показатели вариации в рядах распределения.

Для комплексного статистического анализа влияния на вариацию признаков единиц статистических совокупностей в вариационных рядах используется система показателей вариации. Абсолютные количественные показатели меры вариации (рассеивания величины признака): размах вариации признака между наименьшим и наибольшим его значением в совокупности – R_в; среднее линейное отклонение признака (х_i)от средней его величины (х_ср) – d_ср; дисперсия σ² и среднее квадратическое отклонение σ признака от его средней величины. Относительные показатели рассеивания: коэффициенты относительного отклонения К_dср, осцилляции К_осц и вариации V_в. Дисперсия – это средний квадрат отклонения величины признака от его среднего значения: σ² = [∑(х_i – х_ср)²] / n (не взвешенная) или σ² = [∑(х_i – х_ср)² * f_i] / ∑f_i (взвешенная), где n – количество единиц в совокупности, f_i – частоты единиц с одинаковой величиной признака или численность единиц в интервалах ряда распределения.

Коэффициенты плотности распределения в ранжированной совокупности: абсолютная плотность – отношение частоты f_i к величине группового интервала и_гр, показывает сколько единиц совокупности приходится на единицу интервала; относительная плотность определяется отношением частости f_чi к величине интервала и_гр и показывает какая часть (доля, %) единиц совокупности относится к данному интервалу.

Наиболее характерным относительным показателем рассеивания признака в совокупности является коэффициент вариации V_в = (σ / х_ср) * 100%. При V_в > 40% рассеяние признака оценивается как весьма значительное, характеризующее весьма слабую корреляционную связь между результирующим (у_х) и факторными признаками (х_i) в уравнениях парной и множественной регрессии у _х1-n = f(х₁, х₂, 3_х …. х_n). Графически ряды распределения изображаются гистограммой (график частот по интервалам значений признака), кумулятой (график соотношения накопленных частот - по оси ординат, и значений признака – по оси абсцисс), огивой (график обратный кумулятивному: по ординате – значение признака, по абсциссе – накопленные частоты), полигоном распределения (график формы и границ распределения).

6.3 Графическое отображение рядов распределения

Построение графиков распределения По условиям и результатам расчета показателей вариации ряда распределения задачи 5.1. необходимо построить графики распределения: гистограмму распределения Рис. 5.1., кумуляту распределения Рис. 5.2., полигон распределения на основе его гистограммы Рис.5.3.

Рис. 6.1. Гистограмма распределения: f_i – x_i .

Рис. 6.2. Кумулята (накопленные частоты) распределения: S_i - x_i

Рис.6.3. Гистограмма и полигон (форма) распределения.

Полигон распределения изображен в виде ломаной линии по координатам серединных значений интервалов распределения и имеет характер нормального распределения.

Асимметрия левосторонняя при As < 0 ( _ср=5.1< Ме=5.4< Мо=5.8).

ЗАДАЧА 6.1. Расчет показателей вариации. Построение графиков рядов распределения.

Дано: Имеются данные статистического наблюдения об объемах реализации продукции (не ранжированный ряд Q_piнр = х_iнр, млн. руб., (таблица 5.1, гр. 2) на конец года по 20 предприятиям города (i = 1,n; n = 20).

Необходимо: 1) Определить показатели вариации ряда распределения предприятий по объему реализованной продукции и сделать выводы. Данные статистического наблюдения и результаты статистической сводки и группировки оформить статистическими таблицами и графиками.

2) Ранжировать исходный ряд распределения по рангу возрастания величины признака (Qi_р = x_ip в таблице 5.1, гр.3).

3) Рассчитать и построить группы и интервалы (табл.1, стр.4) распределения (при Кгр = 4) и определить частоты (f i) по интервалам.

4) Построить сложную аналитическую таблицу (таблице 5.2)

5) Рассчитать показатели вариации: R_в– размах вариации; d_ср – среднее линейное отклонение; σ² – дисперсию; σ - среднее квадратическое отклонение; К _осц - коэффициент осцилляции; К_dср - коэффициент среднего линейного отклонения; V _в - коэффициент вариации; М_о - моду; М_е - медиану.

6) Построить графики распределения: гистограмму – графическое изображение интервального ряда (fi –х_i); кумуляту – графическое распределение накопленных частот (Si - х_i); полигон распределения - графическое изображение характера (вида) кривой распределения.

Решение:

Расчёт и построение групп, интервалов и показателей вариации.

1) Размах вариации признака (объема реализации) R_в = х_max – х_min = 9 – 1 = 8 млн. руб. Оптимальное количество групп (формула Стеджерсса):

K_гр.опт = 1 + 3.32 * lg N (n); lg 20 = 1,3; K_гр = 1 + 3.32 * 1.3 = 5.3; по условию задачи принимаем K_гр = 4. Величина группового интервала: и_гр = R_в /K_гр = 8/4 =2 млн. руб.

Таблица 6.1. Объем реализации продукции и группировка по интервалам

№	хiнр	хiр	игр	fi	№	хiнр	хiр	игр	fi
1	2	3	4	5	1	2	3	4	5
1	4	1	1-3	f 1	11	5,8	5,7	5-7	f 3
2	2	2			12	5,7	5,8
3	1	2			13	7,5	6
4	2	3,1	3-5	f 2	14	6,3	6
5	3,1	3,4			15	6	6,2
6	4	4			16	5,4	6,3
7	3,4	4			17	9	6,4
8	6.4	4,8			18	6,2	6,8
8	4.8	5,3	5-7	f3	19	6	7,5	7-9	f 4
10	6,8	5,4			20	5.3	9

Примечание: х_min = 1 млн. руб; х_max = 9 млн. руб.; и_гр – величина группового интервала f_i - частоты распределения по интервалам

2) Расчёт интервалов: 1. х_min1 – х_max1; х_min1 = х_min = 1 млн. руб.; х_max1 = х_min1 + и_гр = 1 + 2 =3 млн. руб.

2. х_min2 - х_max2; х_min2= х_max1=3 млн. руб.; х_max2= х_min2+и_гр=3+2=5 млн. руб.

То же для 3 и 4 интервала: (1-3), (3-5), (5 – 7), (7 -9) (табл. 2, гр. 2).

3)Построение аналитической таблицы и расчет показателей вариации.

_{ср. ариф. взвеш.}= млн. руб. Принимаем: =5 млн.

руб.; x_{i с} – серединные значения интервалов.

S_i - кумулята распределения – накопленная частота (S₁=f₁=3; S₂=S₁+f₂=3+5=8 и т. д.; гр. 4);

4) Расчет частостей (процентное выражение частоты): f_чi=f_чּ%_{1предпр}., где %_{1предпр} процент одного предприятия в совокупности. %_{1предпр}= ; f_ч1=f₁ּ%_{1предпр} = 3 ּ 5 = 15% и т. д. (графа 11).

Частости могут быть определены как оносительные величины и показатели структуры f_ч1=f₁ּ / Σ f_i , притом, что Σ f_i = n, (n = 20; n – целое, 100%).

5) Расчет показателей плотности распределения – количества предприятий на величину интервала:

Пр_i = ; Пр₁ = и т. д. (графа 12).

6. R _в = X_max - X_min= 9 – 1 = 8 млн. руб. 6. 2. млн. руб.

Таблица 6.2. Расчетная таблица для определения показателей вариации (млн. руб.)

№ п/п	Игр	fi	Si	xiс	xiּfi	÷xi – ÷	÷xi - ÷ּfi	(xi- )2	(xi- )2* fi	Fчi %	Прi
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
1	1-3	3	3	2	6	(-)3	9	9	27	15	1,5
2	3-5	5	8	4	20	1	5	1	5	25	2,5
3	5-7	10	18	6	60	1	10	1	10	50	5,0
4	7-9	2	20	8	16	3	6	9	18	10	1,0
-	Итог:	20	-	-	102	-	30	-	60	100	-

(К_в = N_сп ; f_{i вар} = f_i + К_в )

7) млн. руб (σ²).

8) млн. руб.

9) K_осц= . .

10) Коэффициент вариации: .

Выводы: V_в < 40% , следовательно, является типичной величиной распределения, отражающей основную закономерность изучаемого массового явления – распределения предприятий по объему реализации продукции.

ЗАДАЧА 5. Расчет показателей вариации. Построение графиков рядов распределения.

Дано: Имеются данные статистического наблюдения об объемах реализации продукции (не ранжированный ряд Q_piнр = х_iнр, млн. руб., табл. 1, гр. 2) на конец года по 20 предприятиям города (i = 1,n; n = 20).

Интервалы: И_гр =2; 1) 1-3, 2)3-5, 3) 5-7, 4)7-9. Частоты: f_i = 3, 5, 10, 2.

Необходимо: 1) Для расчета показателей вариации построить аналитическую таблицу 1 .

2)Определить показатели вариации ряда распределения предприятий по объему реализованной продукции: среднюю величину,

Таблица 1. Расчет показателей вариации

№ п/п	Игр	fi	Si	xiс	xiс *ּfi	÷xiс - ÷	÷xiс - ÷ּfi	(xiс - )2	(xiс - )2*fi
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	1-3	3	3	2	6	(-)3	9	9	27
2	3-5	5	8	4	20	1	5	1	5
3	5-7	10	18	6	60	1	10	1	10
4	7-9	2	20	8	16	3	6	9	18
-	Итого:	20	-	-	102	-	30	-	60

x_{min мо} = x_{min ме} = 5, f_мо = f_ме = 10, групповой интервал Игр = 2,

S _ме = 18, S _{ме -1} =8

1) Мода: Мо = x_{min мо} +И_гр (f_мо - f_{мо -1} ) / (f_мо - f_{мо -1} ) + (f_мо - f_мо+1 ) =

5 + 2 * (10 -5) / (10 -5) + (10 -2) = 5 + 2 * (5/13) = 5+10/13=5,77= 5,8 млн. руб.

2. Построить графики Рис. 1 и Рис.2

3. Теоретически и графическим методом определить Моду и медиану распределения

Сделать выводы о характере распределения.

20

18

10

8

3

1 3 5 7 9

Рис. 13.2. Кумулята распределения: Si – x_i .

10

5

2

1 3 5 7 9

Рис.13.3. Полигон (форма) распределения: ломаная линия соединяющая середины интервалов распределения x_i на уровне частот f_i .

2) Медиана: Ме = x_min+И_гр * [(∑fi / 2) – S _{ме -1}] / f_ме = 5 + 2 * [(20/2 - 8)] / 10 =

= 5 + (2 *2) /10 = 5,4 млн. руб.

Вывод: _ср=5.1< Ме=5.4< Мо=5.8.

Фактическая кривая распределения имеет асимметричный характер. Величина и знак асимметрии (смещения центра распределения) определяется по формуле: As= .Асимметрия (-) левосторонняя. (σ ).