Пилообразная характеристика сумматора

Это отображение имеет простую неподвижную неустойчивую точку в начале координат и может порождать квазипериодические движения, или, иначе, ограниченные непериодические движения. Таким движениям на диаграмме Ламерея соответствует лестница Ламерея в виде ломаной неограниченной длины, плотно заполняющей диаграмму в некоторой ограниченной области. Пример такого движения представлен на рис.13.

Данное отображение при b1 > 1 может порождать и двукратные неподвижные точки (циклы периода Т = 2). Покажем это (см. рис.14).

15

Пусть стартовое состояние соответствует условию y1 (0) [a; 1),

соответственно

y1 (1)=Y1 (1)= −1+2b1 = −Y1 (0).

С помощью обобщенной теоремы Кенигса определим устойчивость двукратной неподвижной (инвариантной) точки Y1 (0)

данного отображения. В нашем случае имеем fN = f2 =b12 y1 −2b1 + 2 , а производная

dfN = df2 = b2 >1. dx dy1 1

Следовательно, точка Y1 (0), а вместе с ней и точка Y1 (1) (а вместе с

ними и цикл периода Т = 2) неустойчивые.

При b1 < -1, кроме простой неподвижной неустойчивой точки в

начале координат, отображение порождает еще несколько простых неподвижных неустойчивых точек, например абсциссы точек пересечения биссектрисы с прямыми y2 = b1 y1 ± 2 (см. рис. 15).

Значения этих абсцисс получаются из системы уравнений

y2 = b1 y1 ±2y2 = y1 ,

откуда следует

y1 =Y1 = 1±−2b1 .

16

Рис. 15

Если b1 = 1, отображение имеет множество нейтрально устойчивых простых неподвижных точек на отрезке y1 [−1; 1). При b1 = -1 отображение порождает множество двукратных нейтрально устойчивых неподвижных точек на отрезке y1 (−1; 1], образующих

цикл периода T = 2.

Проведенный анализ позволяет построить бифуркационные диаграммы состояний равновесия и периодов колебаний рассматриваемой системы.

Характеристика сумматора с обнулением

Для сумматора с характеристикой с обнулением при |b1| > 1

имеет место принципиально отличный от рассмотренных выше процесс свободных колебаний (рис. 16). Любой процесс, начинающийся в окрестности начала координат, сопровождается ростом |y1(n)| до величины, близкой к a, с последующим шагом в

начало координат.

17

Рассмотрим случай

При b1=1 на отрезке y1 [-1, 1] существуют простые нейтрально устойчивые неподвижные точки, а при b1= - 1 – нейтрально

устойчивые циклы периода 2.

Подводя итог рассмотрению нелинейной системы, следует отметить то, что во всех рассмотренных случаях нелинейности сумматора при |b1| < 1 поведение системы незначительно отличается

от линейной системы (а бифуркационные диаграммы совпадают). Когда |b1| > 1, процессы в линейной и нелинейной системах

отличаются существенно, так в случае сумматора с насыщением даже появляются новые неподвижные устойчивые точки и устойчивый цикл периода Т = 2.

18