суперустойчивыми точками B и D . На выходе системы после окончания переходных процессов имеем колебания с периодом T = 2 вида →1 → −1 →.

Определим область значений параметров (b1 , b2 ),

соответствующую данному расположению областей I–III на плоскости состояний. Для точки A выполняется условие (8), а для точки B – условие (11). Этим соотношениям удовлетворяет заштрихованная область на рис. 9б.

5. Свободные колебания с периодами Т = 1 или Т = 2

Пусть b1 = 0, b2 = 32 . В этом случае уравнения прямых MN и PG имеют вид соответственно y1 = 23 . Расположение областей I-III на плоскости (y1, y2 ) изображено на рис. 10а.

Здесь точки A и C принадлежат тем же областям, что и в п. 1.3, и при старте из них система сохраняет начальное состояние. На выходе ее имеем колебание с периодом T = 1 и мгновенными значениями +1 или −1. Точки B и D располагаются в тех же областях, что и в п. 1.4, и при старте из них в системе возникают колебания с периодом T = 2 вида → B → D →.

При старте из других точек областей I–III изображающая точка за конечное число итераций переходит в зависимости от начальных условий в один из углов квадрата ABCD . Поскольку коэффициенты b1 и b2 выбраны за пределами треугольника устойчивости, при старте

из области II изображающая точка удаляется от начала координат и за конечное число итераций переходит в область I или III. Последующий процесс описан выше.

Следовательно, при выбранных коэффициентах b1 и b2

динамический режим характеризуется в зависимости от начальных условий суперустойчивыми состояниями равновесия в точках A или C или двумя суперустойчивыми инвариантными точками B и D . На

выходе системы по окончании переходных процессов устанавливаются колебания соответственно с периодом T = 1 вида T =1(1) или T =1(−1) или с периодом T = 2 вида →1 → −1 →.

Границы областей начальных условий, соответствующих колебаниям с периодами Т = 1 или Т = 2, описаны аналитически в научных публикациях, указанных в списке литературы к данной лабораторной работе.

Определим область значений параметров (b1 , b2 ), соответствующую данному расположению областей I–III

76

относительно квадрата ABCD на плоскости состояний. Согласно табл. 1 для точки A выполняется условие (10), а для точки B – условие (11). Этим соотношениям удовлетворяет заштрихованная область на рис. 10б.

77

6. Свободные колебания с периодом Т = 4

Пусть b1 = 0 ,b2 = −32 . При этом уравнения прямых MN и PG имеют вид y1 = ±23. Расположение областей I–III на плоскости состояний показано на рис. 11а.

78

Определим динамические режимы в системе. Пусть изображающая точка стартует из точки A , тогда

y1 (0)=1y2 (0)=1.

Поскольку эта точка принадлежит области I, воспользовавшись (3), получим

y1 (1)=1y2 (1)= −1.

Изображающая точка переместилась в точку B и осталась в области I, значит,

y1 (2)= −1y2 (2)= −1.

Изображающая точка оказалась в точкеC , расположенной в области III, поэтому согласно (5) имеем

y1 (3)= −1y2 (3)=1.

Изображающая точка перешла в точку D и осталась в области III, следовательно,

y1 (4)=1 = y1 (0)y2 (4)=1 = y2 (0).

Таким образом, изображающая точка снова оказалась в точке A . Далее процесс повторяется. Это колебательный процесс с периодом

T = 4 вида → A → B →C → D →.

При старте из других точек, расположенных в областях I и III, изображающая точка за конечное число итераций переходит в зависимости от начальных условий в один из углов квадрата ABCD . Далее устанавливаются колебания с периодом T = 4.

Поскольку параметры системы b1 и b2 выбраны за пределами

треугольника устойчивости, при старте из области II изображающая точка удаляется от начала координат и за конечное число шагов переходит в зависимости от начального состояния в область I или III.

79